DEFINICIÓN
Denomínase superficie cónica de revolución, á superficie xerada por unha recta denominada xeratriz, ao xirar entorno a outra recta denominada eixe.
O punto onde a xeratriz corta ao eixe denomínase vértice V da superficie cónica.
O punto onde a xeratriz corta ao eixe denomínase vértice V da superficie cónica.
Se un plano α, intercepta unha superficie cónica de revolución, a sección producida denomínase superficie cónica, e o seu contorno é unha curva plana de segundo grado.
As curvas cónicas propiamente ditas son tres Elipse, Parábola e Hipérbole.
A Elipse xérase cando o plano α ó oblicuo respecto ao eixe, e corta a todas as xeratrices.
A Parábola xérase cando o plano α é paralelo a unha xeratriz.
A Hipérbole xérase cando o plano α é paralelo a dous xeratrices. Por cuestións didácticas e de mellor comprensión, sólese representar utilizando un plano α paralelo ao eixe da superficie cónica de revolución.
As curvas cónicas propiamente ditas son tres Elipse, Parábola e Hipérbole.
A Elipse xérase cando o plano α ó oblicuo respecto ao eixe, e corta a todas as xeratrices.
A Parábola xérase cando o plano α é paralelo a unha xeratriz.
A Hipérbole xérase cando o plano α é paralelo a dous xeratrices. Por cuestións didácticas e de mellor comprensión, sólese representar utilizando un plano α paralelo ao eixe da superficie cónica de revolución.
Ao interceptar unha superficie cónica de revolución con un plano, podemos contemplar dous ángulos, o α formado polo eixe e a xeratriz, e o β formado por el eje y el plano de corte.
A relación entre estos ángulos determina o tipo cónica xerada, como se pode apreciar nas figuras seguintes.
A relación entre estos ángulos determina o tipo cónica xerada, como se pode apreciar nas figuras seguintes.
Teoría de Dandelín:
Segundo o teorema de Dandelín, se trazamos as esferas tanxentes interiores á superficie cónica de revolución e ao plano α que a corta, os puntos de intersección f e f’ de dita esfera coa recta r, eixe das curvas cónicas, son os denominados focos das curvas.
Mentres na elipse e na hipérbola hai dous focos, na parábola só teremos un.
Segundo o teorema de Dandelín, se trazamos as esferas tanxentes interiores á superficie cónica de revolución e ao plano α que a corta, os puntos de intersección f e f’ de dita esfera coa recta r, eixe das curvas cónicas, son os denominados focos das curvas.
Mentres na elipse e na hipérbola hai dous focos, na parábola só teremos un.
Elipse: definición
A elipse é unha curva pechada e plana, que se define como o lugar xeométrico dos puntos do plano cuia suma de distancias r+r’, a dous puntos fixos F y F’, denominados focos, é constante e igual a 2a, sendo 2a a lonxitude do eixe maior AB de la elipse.
A elipse ten dous exes, o eixe mayor AB e o eixe menor C-D, ámbolos dous crúzanse perpendicularmente no centro O da elipse.
A lonxitude do eixe maior é 2a, a do eixe menor 2b e a distancia focal 2c, e cúmplese que: a² = b² + c².
A elipse é simétrica respecto ámbolos dous eixes.
As rectas que unen un punto cualquera da elipse P, cos focos, denomínanse raios vectores r e r’, e por definición cúmplese que: r + r’ = 2a.
A elipse ten dous exes, o eixe mayor AB e o eixe menor C-D, ámbolos dous crúzanse perpendicularmente no centro O da elipse.
A lonxitude do eixe maior é 2a, a do eixe menor 2b e a distancia focal 2c, e cúmplese que: a² = b² + c².
A elipse é simétrica respecto ámbolos dous eixes.
As rectas que unen un punto cualquera da elipse P, cos focos, denomínanse raios vectores r e r’, e por definición cúmplese que: r + r’ = 2a.
Propiedades y elementosDenomínase circunferencia principal Cp, á circunferencia de centro O, e diámetro 2a.
A circunferencia principal, defiínese como o lugar xeométrico dos pes das perpendiculares (Q), trazadas dende os focos ás tanxentes (t) da elipse.
Tamén pódese definir como o punto medio dos segmentos que unen un foco, coa circunferencia focal do outro foco, e as mediatrices de ditos segmentos, son tanxentes á elipse
Denomínase circunferencia focal Cf, ás circunferencias de centro en un dos focos da elipse, e radio 2a. Nuhna elipse poderanse trazar dous circunferencias focales.
A circunferencia focal, defínese como o lugar xeométrico dos puntos simétricos do outro foco (F1), respecto as tangentes (t) da elipse.
Observando a figura, tamén podemos definir a elipse, como o lugar xeométrico dos centros de circunferencia que pasan por un foco, e son tanxentes á circunferencia focal do outro foco.
A circunferencia principal, defiínese como o lugar xeométrico dos pes das perpendiculares (Q), trazadas dende os focos ás tanxentes (t) da elipse.
Tamén pódese definir como o punto medio dos segmentos que unen un foco, coa circunferencia focal do outro foco, e as mediatrices de ditos segmentos, son tanxentes á elipse
Denomínase circunferencia focal Cf, ás circunferencias de centro en un dos focos da elipse, e radio 2a. Nuhna elipse poderanse trazar dous circunferencias focales.
A circunferencia focal, defínese como o lugar xeométrico dos puntos simétricos do outro foco (F1), respecto as tangentes (t) da elipse.
Observando a figura, tamén podemos definir a elipse, como o lugar xeométrico dos centros de circunferencia que pasan por un foco, e son tanxentes á circunferencia focal do outro foco.
Diámetros conxugados: Se tenemos un diámetro da elipse A’B’, o diámetro conxugado con él, é o lugar xeométrico dos centros das cordas paralelas a dito diámetro (1, 2, 3, 4, etc.), estes centros determinan o diámetro conxugado D’C’ do dado.
Os eixes reais da elipse, son os únicos diámetros conxugados perpendiculares entre si.
Mediante dous diámetros conxugados, poderemos construir a elipse directamente, ou ben obter os eixes reais da mesma.
Os eixes reais da elipse, son os únicos diámetros conxugados perpendiculares entre si.
Mediante dous diámetros conxugados, poderemos construir a elipse directamente, ou ben obter os eixes reais da mesma.
Obtención dos eixes reais, a partires dos dous eixes conxugados
Dados os eixes conxugados de unha elipse A’B’ e C’D’, poderemos obter a partires deles os eixes reais da elipse, para elo seguiremos os seguintes pasos:
1.- Por O, centro da elipse, trazaremos a perpendicular ao eixe conxugado A’B’, e sobre el levaremos a distancia O-A’, determinando o punto 1.
2.- Uniremos o punto 1 con C’, e determinaremos o punto medio 2, de dito segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O, que determinará sobre a prolongación do segmento 1-C’, os puntos 3 e 4. As rectas O-3 e O-4 determinan as direccións perpendiculares dos eixes reais da elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos a circunferencia de diámetro 1-C’. Unindo o centro O con 2, determinaremos sobre dita circunferencia, os puntos 5 e 6, siendo as distancias O-5 e O-6, as dimensiónes dos semieixes reais da elipse.
5.- Só resta levar, mediante os correspondentes arcos de circunferencias, as dimensiones anteriores sobre as direccións dos eixes, obtendo así os ejes reales da elipse AB e CD.
Dados os eixes conxugados de unha elipse A’B’ e C’D’, poderemos obter a partires deles os eixes reais da elipse, para elo seguiremos os seguintes pasos:
1.- Por O, centro da elipse, trazaremos a perpendicular ao eixe conxugado A’B’, e sobre el levaremos a distancia O-A’, determinando o punto 1.
2.- Uniremos o punto 1 con C’, e determinaremos o punto medio 2, de dito segmento.
3.- Con centro en 2, trazaremos un arco de radio 2-O, que determinará sobre a prolongación do segmento 1-C’, os puntos 3 e 4. As rectas O-3 e O-4 determinan as direccións perpendiculares dos eixes reais da elipse.
4.- Con centro en 2 trazaremos a circunferencia de diámetro 1-C’. Unindo o centro O con 2, determinaremos sobre dita circunferencia, os puntos 5 e 6, siendo as distancias O-5 e O-6, as dimensiónes dos semieixes reais da elipse.
5.- Só resta levar, mediante os correspondentes arcos de circunferencias, as dimensiones anteriores sobre as direccións dos eixes, obtendo así os ejes reales da elipse AB e CD.
Trazado da elipse mediante raios vectores
Tendo en conta a definición da elipse, como o lugar xeométrico dos puntos del plano, cuxa suma de distancias aos focos é igual a 2a, lonxitude do eixe maior da elipse, só precisaremos coller pares de raios vectores, cuxa suma sexa 2a, para elo determinaremos unha serie de puntos sobre o eixe maior 1, 2, 3 etc., e colleremos como parellas de raios vectores, os segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, e así sucesivamente, determinando os puntos 1′, 2′, 3′, etc. da elipse.
Con cada parella de raios vectores, determinaranse catro puntos da elipse, un en cada cadrante da mesma.
Canto maior sexa o número de puntos, maior será a precisión do trazado da elipse, que deberá realizarse, ou ben a man alzada ou mediante reglas flexibeis, ou padróns de curvas especiais.
Tendo en conta a definición da elipse, como o lugar xeométrico dos puntos del plano, cuxa suma de distancias aos focos é igual a 2a, lonxitude do eixe maior da elipse, só precisaremos coller pares de raios vectores, cuxa suma sexa 2a, para elo determinaremos unha serie de puntos sobre o eixe maior 1, 2, 3 etc., e colleremos como parellas de raios vectores, os segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, e así sucesivamente, determinando os puntos 1′, 2′, 3′, etc. da elipse.
Con cada parella de raios vectores, determinaranse catro puntos da elipse, un en cada cadrante da mesma.
Canto maior sexa o número de puntos, maior será a precisión do trazado da elipse, que deberá realizarse, ou ben a man alzada ou mediante reglas flexibeis, ou padróns de curvas especiais.
Trazado da elipse por feixes proxectivos
Trazaremos o rectángulo AOCE, e dividiremos os lados AO e AE en un mismo número de partes iguais.
Seguidamente imos trazando as rectas C1-D1, C2-D2, etc. e nas súas interseccións iremos obtendo puntos da elipse. Esto repetirase para os catro cadrantes da elipse.
Trazaremos o rectángulo AOCE, e dividiremos os lados AO e AE en un mismo número de partes iguais.
Seguidamente imos trazando as rectas C1-D1, C2-D2, etc. e nas súas interseccións iremos obtendo puntos da elipse. Esto repetirase para os catro cadrantes da elipse.
Trazado da elipse por feixes proyectivos, dados dous eixes conxugados
Trazaremos o romboide A’O’C’E’, e dividiremos os lados A’O’ e A’E’ nun mesmo número de partes iguais.
Seguidamente imos trazando as rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. e en sus interseccións imos obtendo puntos da elipse. Esto repetirase para os cuatro cadrantes da elipse.
Trazaremos o romboide A’O’C’E’, e dividiremos os lados A’O’ e A’E’ nun mesmo número de partes iguais.
Seguidamente imos trazando as rectas C’1-D’1, C’2-D’2, etc. e en sus interseccións imos obtendo puntos da elipse. Esto repetirase para os cuatro cadrantes da elipse.
Trazado da elipse por envolventes
Esta construcción básase nol feito de que a circunferencia principal de unha elipse, é el lugar xeométrico dos pes das perpendiculares trazadas dende os focos ás tanxentes á elipse.
Para este trazado partiremos de puntos da circunferencia principal, como o P, indicado na figura.
Uniremos dito punto co foco F, e trazaremos por P a perpendicular ao segmento PF, obtendo a recta t, tanxente á elipse. Repetindo esta operación, obteremos unha serie de tanxentes que irán envolvendo á elipse.
Esta construcción básase nol feito de que a circunferencia principal de unha elipse, é el lugar xeométrico dos pes das perpendiculares trazadas dende os focos ás tanxentes á elipse.
Para este trazado partiremos de puntos da circunferencia principal, como o P, indicado na figura.
Uniremos dito punto co foco F, e trazaremos por P a perpendicular ao segmento PF, obtendo a recta t, tanxente á elipse. Repetindo esta operación, obteremos unha serie de tanxentes que irán envolvendo á elipse.
Trazado da elipse a partires de circunferencias afíns
Comenzaremos trazando as circunferencias de centro O, e diámetros AB e CD.
Seguidamente trazaremos raios como o O1, que corta ás circunferencias anteriores nos puntos 1 e 2.
Por ditos puntos trazaremos as paralelas a CD e AB respectivamente. Ditas paralelas córtanse no punto 3, que é da elipse. O número de raios trazados, serán os necesarios para definir suficientemente a elipse.
Comenzaremos trazando as circunferencias de centro O, e diámetros AB e CD.
Seguidamente trazaremos raios como o O1, que corta ás circunferencias anteriores nos puntos 1 e 2.
Por ditos puntos trazaremos as paralelas a CD e AB respectivamente. Ditas paralelas córtanse no punto 3, que é da elipse. O número de raios trazados, serán os necesarios para definir suficientemente a elipse.
Trazado da elipse a partires de dous diámetros conxugados por triángulos semellantes afíns
Partindo dos eixes conjugados A’B’ e C’D’, comenzaremos trazando a circunferencia de centro O e diámetro A’B’.
Sobre a circunferencia anterior, trazaremos cordas perpendiculares a A’B’, como a 1-2. Unindo 2 con C’, e 1 con D’, obteremos os triángulos O2C‘ e O1D’. Só restará construir o resto de cordas e triángulos semellantes a estos como o MPN, de lados paralelos ao triángulo O2C’, obtendo así puntos da elipse.
Partindo dos eixes conjugados A’B’ e C’D’, comenzaremos trazando a circunferencia de centro O e diámetro A’B’.
Sobre a circunferencia anterior, trazaremos cordas perpendiculares a A’B’, como a 1-2. Unindo 2 con C’, e 1 con D’, obteremos os triángulos O2C‘ e O1D’. Só restará construir o resto de cordas e triángulos semellantes a estos como o MPN, de lados paralelos ao triángulo O2C’, obtendo así puntos da elipse.
Recta tangente y normal en un punto de la elipse
La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.
La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.
Recta tangente a la elipse en un punto, por circunferencia principal
Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto P, y diámetro dichos radios vectores.
Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.
Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.
También se verifica que las rectas F-P y O-T2, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.
Siendo P el punto de la elipse, comenzaremos trazando las circunferencias de centro C1 y C2, puntos medios de los radios vectores del punto P, y diámetro dichos radios vectores.
Las circunferencias anteriores resultan ser tangentes interiores a la circunferencia principal, en los puntos T1 y T2, determinados al unir el centro O de la elipse con los centros C1 y C2.
Se cumple que los puntos T1, P y T2, están alineados, y determinan la recta t tangente a la elipse buscada.
También se verifica que las rectas F-P y O-T2, y F’-P y O-T1 son respectivamente paralelas.
Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia focal
Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.
Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.
Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la elipse.
Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P-F’, la cual corta a la focal en los puntos F’1 y F’2. Dichos puntos son los simétricos del F’respecto a las tangentes a la elipse desde el punto P.
Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la elipse buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la elipse desde un punto exterior, por circunferencia principal
Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.
Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Dado el punto P exterior a la elipse, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y a continuación la circunferencia de centro en C, y diámetro P-F. Ambas circunferencias se interceptan en los puntos 1 y 2.
Las rectas P-1 y P-2, serán las tangentes t1 y t2 buscadas. Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas O1 y O2, y por F’ las correspondientes paralelas, que determinarán sobre las tangentes, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia focal
Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.
Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Esta construcción es similar a la del trazado de tangentes desde un punto exterior, solo que en este caso el punto es un punto impropio situado en el infinito.
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F, y a continuación la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta determina sobre la circunferencia focal, los puntos F’1 y F’2.
Las mediatrices de los segmentos F’-F’1 y F’-F’2, serán las tangentes a la elipse t1 y t2 buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F-F’1 y F-F’2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.
Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada, por circunferencia principal
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.
Solo restará trazar por R y S las rectas t1 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.
Dada la dirección d, comenzaremos trazando la circunferencia principal, y seguidamente la recta perpendicular a la dirección d, y que pase por el foco F’. Dicha recta intercepta a la circunferencia principal en los puntos R y S, pertenecientes a las tangentes buscadas.
Solo restará trazar por R y S las rectas t1 y t2, paralelas a la dirección dada, siendo estas las tangentes buscadas.
Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas OR y OS, y por el foco F, las correspondientes paralelas. Dichas paralelas determinarán sobre las tangentes los puntos T1 y T2 de tangencia buscados.
Puntos de intersección de una recta con una elipse
Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.
Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.
Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.
En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.
Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sob
Esta construcción se basa en la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por un foco, y son tangentes a la circunferencia focal del otro foco.
Comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F y radio 2a. seguidamente trazaremos una circunferencia cualquiera con centro en la recta r, y que pase por el foco F’. En nuestro caso hemos trazado la circunferencia de centro C1. sobre dicha circunferencia determinaremos el punto P, simétrico del foco F’, respecto a la recta r.
Los puntos de intersección buscados, serán los centros de las circunferencias situados en la recta r, que pasando por P y F’, sean tangentes a la circunferencia focal. Por lo tanto el problema se reduce al trazado de circunferencias que pasando por dos puntos sean tangentes a otra dada, Lo que resolveremos por potencia.
En la intersección de las rectas 1-2 y P-F’, obtendremos el punto Cr, centro radical de todas las circunferencias de centro en r y que pasen por P y F’.
Tranzando la circunferencia de diámetro F-Cr y centro en pm, determinaremos en la circunferencia focal, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia de las circunferencias buscadas. Determinaremos el centro de dichas circunferencias, uniendo los puntos T1 y T2 con el foco F, rectas que determinarán sob
Parábola: definición
A parábola (do grego παραβολή) o lugar xeométrico dos puntos do plano que equidistan de un fixo, denominado foco, e dunha recta fixa, denominada directriz. Tamén pódese considerar á parábola como unha elipse na que un dos focos é un punto impropio.
É unha curva cónica, aberta, plana e de unha sola rama.
É unha curva cónica, aberta, plana e de unha sola rama.
ElementosAdemáis do foco F e a directriz, conta con un eixe de simetría E, normal á directriz e que contén ao foco.
Denomínase vértice V, ao punto de intersección da curva co eixe, a tanxente en V á curva é paralela á directriz. Por ser V un punto da curva, equidista do foco e da directriz.
Denomínase Parámetro P á lonxitude da corda que pasa polo foco e é paralela á directriz. O semiparámetro mide o mesmo que longitud hai de F á directriz.
As circunferencias focal e principal teñen radio infinito polo que se convirten en rectas, a circunferencia focal coincide coa directriz e a circunferencia principal coincide coa recta tanxente en V á parábola.
O centro de curvatura no vértice (Cv) é o centro da circunferencia osculatriz que pasa por V, Cv está a igual distancia de F que F de V. Tomando varios puntos moi próximos da curva, denomínase circunferencia osculatriz a la que pasa por eles.
Denomínase vértice V, ao punto de intersección da curva co eixe, a tanxente en V á curva é paralela á directriz. Por ser V un punto da curva, equidista do foco e da directriz.
Denomínase Parámetro P á lonxitude da corda que pasa polo foco e é paralela á directriz. O semiparámetro mide o mesmo que longitud hai de F á directriz.
As circunferencias focal e principal teñen radio infinito polo que se convirten en rectas, a circunferencia focal coincide coa directriz e a circunferencia principal coincide coa recta tanxente en V á parábola.
O centro de curvatura no vértice (Cv) é o centro da circunferencia osculatriz que pasa por V, Cv está a igual distancia de F que F de V. Tomando varios puntos moi próximos da curva, denomínase circunferencia osculatriz a la que pasa por eles.
Trazado
Trazado da parábola coñecendo a directriz e o focoEn cualquiera dos dous métodos descritos verifícase que calquera punto da curva equidista do foco e do eixe.
Primeiro método. Por puntos o raios vectores
Dada a directriz D e o foco F, debuxamos o eixe (perpendicular a D por F) e determinamos V (vértice e punto da curva) no punto medio do segmento FB (B é o punto de intersección entre o eixe e a directriz).
Graduamos o eixe a partires de F e en sentido oposto a V en calquera número de partes iguais o non, por onde trazamos normais ao eixe.
Con centro en F e raio 1B trazamos unha circunferencia que corta en 1’ e 1”, puntos da parábola, a normal correspondente a 1.
Procedemos de igual xeito para os puntos restantes incluido o propio F e unimos os puntos así obtidos a man alzada.
Primeiro método. Por puntos o raios vectores
Dada a directriz D e o foco F, debuxamos o eixe (perpendicular a D por F) e determinamos V (vértice e punto da curva) no punto medio do segmento FB (B é o punto de intersección entre o eixe e a directriz).
Graduamos o eixe a partires de F e en sentido oposto a V en calquera número de partes iguais o non, por onde trazamos normais ao eixe.
Con centro en F e raio 1B trazamos unha circunferencia que corta en 1’ e 1”, puntos da parábola, a normal correspondente a 1.
Procedemos de igual xeito para os puntos restantes incluido o propio F e unimos os puntos así obtidos a man alzada.
Segundo método
Determinamos V e por V trazamos a tangente á curva («circunferencia principal»-paralela á directriz), levando sobre ela o parámetro en A.
Trazamos a mediatriz do segmento AF e obtemos o punto O sobre a prolongación do eixe. Trazamos, con centro en O unha circunferencia de raio OF que corta ao eixe e determina o punto C.
Graduamos o eixe en partes iguais (1, 2, 3…), por onde trazamos normais ao eixe.
Debuxamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3…, estas, cortan á tanxente trazada por V á curva, nos puntos 1a, 2a, 3a…. dende onde trazamos paralelas ao eixe ata cortar ás rectas normais ao eixe correspondentes en 1’, 2’, etc. puntos da parábola.
Trazamos a segunda rama polo mesmo método ou por simetría, debuxamos a man alzada o coa plantilla de curvas.
Determinamos V e por V trazamos a tangente á curva («circunferencia principal»-paralela á directriz), levando sobre ela o parámetro en A.
Trazamos a mediatriz do segmento AF e obtemos o punto O sobre a prolongación do eixe. Trazamos, con centro en O unha circunferencia de raio OF que corta ao eixe e determina o punto C.
Graduamos o eixe en partes iguais (1, 2, 3…), por onde trazamos normais ao eixe.
Debuxamos circunferencias de diámetros C1, C2, C3…, estas, cortan á tanxente trazada por V á curva, nos puntos 1a, 2a, 3a…. dende onde trazamos paralelas ao eixe ata cortar ás rectas normais ao eixe correspondentes en 1’, 2’, etc. puntos da parábola.
Trazamos a segunda rama polo mesmo método ou por simetría, debuxamos a man alzada o coa plantilla de curvas.
Feixes Proxectivos
Coñecido o eixe E, o vértice V e un punto P da curva, trazamos por P e V perpendiculares ao eixe e por P unha paralela, obtemos deste xeito o rectángulo VAPB, trazamos outro simétrico deste respecto ao eixe, CMVA.
Dividimos en partes iguais os segmentos paralelos ao eixe e no doble número de partes, también iguais, o segmento BC, as primeras divisiones unímolas con V e polo resto trazamos paralelas ao eixe.
Onde se cortan as correspondientes (ver debuxo) obtemos puntos da curva.
Coñecido o eixe E, o vértice V e un punto P da curva, trazamos por P e V perpendiculares ao eixe e por P unha paralela, obtemos deste xeito o rectángulo VAPB, trazamos outro simétrico deste respecto ao eixe, CMVA.
Dividimos en partes iguais os segmentos paralelos ao eixe e no doble número de partes, también iguais, o segmento BC, as primeras divisiones unímolas con V e polo resto trazamos paralelas ao eixe.
Onde se cortan as correspondientes (ver debuxo) obtemos puntos da curva.
Método combinado.
Tomamos puntos arbitrarios da directriz (1”, 2”…) e unimolos co foco. Trazamos mediatrices dos segmentos F-1”, F-2”… que cortarán ás perpendiculares trazadas á directriz polos puntos 1”, 2”… obtendo así puntos da curva 1, 2, 3… que son puntos de tanxencia. Obsérvese que os puntos medios dos segmentos (1’, 2’…) coinciden na circunferencia principal.
Tomamos puntos arbitrarios da directriz (1”, 2”…) e unimolos co foco. Trazamos mediatrices dos segmentos F-1”, F-2”… que cortarán ás perpendiculares trazadas á directriz polos puntos 1”, 2”… obtendo así puntos da curva 1, 2, 3… que son puntos de tanxencia. Obsérvese que os puntos medios dos segmentos (1’, 2’…) coinciden na circunferencia principal.
Trazado de rectas tanxentes por un punto da parábolaUnindo o punto A dado co foco e trazando dende el á directriz unha perpendicular, obtemos o ángulo FAP, a súa bisectriz é a recta tanxente buscada en A.
O punto P perteneciente á directriz (circunferencia focal da parábola, de radio infinito) é siempre simétrico de F respecto da tanxente trazada, como sucedía na elipse (a circunferencia focal é el lugar xeométrico dos puntos simétricos do foco respecto das rectas tanxentes trazadas á curva).
Coñecendo o foco F, o punto de tanxencia A e a directriz D podemos trazar a tanxente, pois P está no pé da normal trazada á directriz dende A (na elipse P está na intersección da circunferencia focal coa prolongación do radio vector que contén ao punto A e ao propio centro da circunferencia focal).
O punto P perteneciente á directriz (circunferencia focal da parábola, de radio infinito) é siempre simétrico de F respecto da tanxente trazada, como sucedía na elipse (a circunferencia focal é el lugar xeométrico dos puntos simétricos do foco respecto das rectas tanxentes trazadas á curva).
Coñecendo o foco F, o punto de tanxencia A e a directriz D podemos trazar a tanxente, pois P está no pé da normal trazada á directriz dende A (na elipse P está na intersección da circunferencia focal coa prolongación do radio vector que contén ao punto A e ao propio centro da circunferencia focal).
Trazado de tanxentes á parábola dende un punto exterior
Como na elipse, trazamos unha circunferencia de centro no punto exterior A dado e radio AF que determina X e Y sobre a circunferencia focal (directriz na parábola).
Por X e Y trazamos perpendiculares á directriz (buscando o que sería o centro da circunferencia focal, no infinito no caso da parábola e normal á directriz), e obtemos na súa intersección coa curva (o coas propias tanxentes ainda non debuxadas) os puntos T1 e T2 de tanxencia.
As mediatrices de XF e YF son as tanxentes buscadas e X e Y son puntos simétricos do foco F respecto das tanxentes trazadas.
Como na elipse, trazamos unha circunferencia de centro no punto exterior A dado e radio AF que determina X e Y sobre a circunferencia focal (directriz na parábola).
Por X e Y trazamos perpendiculares á directriz (buscando o que sería o centro da circunferencia focal, no infinito no caso da parábola e normal á directriz), e obtemos na súa intersección coa curva (o coas propias tanxentes ainda non debuxadas) os puntos T1 e T2 de tanxencia.
As mediatrices de XF e YF son as tanxentes buscadas e X e Y son puntos simétricos do foco F respecto das tanxentes trazadas.
Trazado das tanxentes á parábola paralelas a unha dirección dada
Dada a dirección r, trazamos polo foco F unha recta perpendicular a dita recta r que corta en X á directriz D (circunferencia focal).
Unimos o punto X co «centro de la circunferencia focal» (no infinito, logo trazamos por X unha perpendicular á directriz) que corta en T, punto de tanxencia, á curva.
Trazamos a mediatriz del segmento FX que será a tangente a la curva, paralela á dirección dada, no punto T obtido.
Dada a dirección r, trazamos polo foco F unha recta perpendicular a dita recta r que corta en X á directriz D (circunferencia focal).
Unimos o punto X co «centro de la circunferencia focal» (no infinito, logo trazamos por X unha perpendicular á directriz) que corta en T, punto de tanxencia, á curva.
Trazamos a mediatriz del segmento FX que será a tangente a la curva, paralela á dirección dada, no punto T obtido.
Hipérbole: definición
Unha hipérbole (del griego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas ramas obtida cortando un cono de revolución por un plano oblicuo ao eixe de simetría, e con ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución.
As asíntotas da hipérbole móstranse como líñas discontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbole (curvas vermellas), C. Os dous puntos focales denominanse F1 e F2, a líña negra que une os vértices é o eixe transversal. A delgada líña perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado. As dúas líñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (polo tanto, perpendicular ao eixe transversal) son as dúas directrices, D1 e D2. A excentricidade e (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) dende un punto P da hipérbole a un dos focos e a súa correspondiente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±a con respecto ao centro.
Igual que ocorre na elipse, o eixe maior vaise denominar con 2a = AB sendo A e B os puntos comúns coa curva. O eixe menor 2b = CD ou eixe conxugado ou imaxinario non corta a curva, e os focos F e F' están sobre o eixe maior cunha distancia FF' = 2c .
A relación entre a , b e c é: c2 = a2 + b2
Os raios vectores son as rectas que unen un punto P da hipérbole cos dos focos. Por definición, a diferencia das lonxitudes dos raios vectores é a lonxitude do eixe maior.
As asíntotas da hipérbole móstranse como líñas discontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbole (curvas vermellas), C. Os dous puntos focales denominanse F1 e F2, a líña negra que une os vértices é o eixe transversal. A delgada líña perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado. As dúas líñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (polo tanto, perpendicular ao eixe transversal) son as dúas directrices, D1 e D2. A excentricidade e (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) dende un punto P da hipérbole a un dos focos e a súa correspondiente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±a con respecto ao centro.
Igual que ocorre na elipse, o eixe maior vaise denominar con 2a = AB sendo A e B os puntos comúns coa curva. O eixe menor 2b = CD ou eixe conxugado ou imaxinario non corta a curva, e os focos F e F' están sobre o eixe maior cunha distancia FF' = 2c .
A relación entre a , b e c é: c2 = a2 + b2
Os raios vectores son as rectas que unen un punto P da hipérbole cos dos focos. Por definición, a diferencia das lonxitudes dos raios vectores é a lonxitude do eixe maior.
TRAZADO DA HIPÉRBOLE
Coñecendo os vértices e os focos
Graduamos o eixe maior arbitrariamente a partires dun dos focos e en sentido oposto ao centro obtendo 1, 2, 3…
Trazamos circunferencias con centro en F1 e raios P1A, P2A, P3A… e circunferencias de centro F2 e raios P1B, P2B, P3B…, os puntos de intersección das circunferencia correspondientes, son puntos da curva.
Operamos de igual modo para a outra rama da curva que debe ser simétrica da primeira.
Graduamos o eixe maior arbitrariamente a partires dun dos focos e en sentido oposto ao centro obtendo 1, 2, 3…
Trazamos circunferencias con centro en F1 e raios P1A, P2A, P3A… e circunferencias de centro F2 e raios P1B, P2B, P3B…, os puntos de intersección das circunferencia correspondientes, son puntos da curva.
Operamos de igual modo para a outra rama da curva que debe ser simétrica da primeira.
construción da hipérbole por puntos a partires dos seus eixes
construción da hipérbole por feixes proxectivos
construción da hipérbole por envolventes
recta tanxente e normal por un punto da hipérbole
Dende un punto exterior
Como na elipse, trazamos unha circunferencia auxiliar de centro en P dado, que pase por uno de los focos (F2), que cortará á circunferencia focal (radio AB) trazada co centro no outro foco (F1) en X e Y, que como sabemos son os puntos simétricos do foco F2 respecto das rectas tanxentes.
Trazamos as mediatrices dos segmentos X-F2 e Y-F2 y obtenemos las rectas tangentes buscadas. Os puntos de tanxencia atópanse na intersección da curva e a prolongación dos segmentos X-F1 e Y-F1
Como na elipse, trazamos unha circunferencia auxiliar de centro en P dado, que pase por uno de los focos (F2), que cortará á circunferencia focal (radio AB) trazada co centro no outro foco (F1) en X e Y, que como sabemos son os puntos simétricos do foco F2 respecto das rectas tanxentes.
Trazamos as mediatrices dos segmentos X-F2 e Y-F2 y obtenemos las rectas tangentes buscadas. Os puntos de tanxencia atópanse na intersección da curva e a prolongación dos segmentos X-F1 e Y-F1
Click to set custom HTML
Paralelas a unha dirección dada
Trazamos a circunferencia focal de centro en uno de los focos (F1) e polo outro foco unha recta perpendicular á dirección r dada que cortará á circunferencia nos puntos X e Y, simétricos de F2; se tomamos como eixes de simetría ás rectas tanxentes solución. As mediatrices dos segmentos X-F2 e Y-F2 son as tangentes buscadas.
Os puntos de tanxencia atópanse na intersección da hipérbola e as prolongacións dos segmentos X-F1 e Y-F1
Trazamos a circunferencia focal de centro en uno de los focos (F1) e polo outro foco unha recta perpendicular á dirección r dada que cortará á circunferencia nos puntos X e Y, simétricos de F2; se tomamos como eixes de simetría ás rectas tanxentes solución. As mediatrices dos segmentos X-F2 e Y-F2 son as tangentes buscadas.
Os puntos de tanxencia atópanse na intersección da hipérbola e as prolongacións dos segmentos X-F1 e Y-F1
Construción da Parábola con fíos
Cónicas dexenenradas...
Cónicas singulares o dexeneradas. En función da posición do plano de corte e as propiedades do cono, pódense obter outras curvas cónicas que se denominan singulares ou dexeneradas.