DEFINICIÓN
Dúas figuras planas son "homográficas" cando se corresponden punto a punto e recta a recta de xeito que a cada punto e recta dunha figura correspóndenlle un punto e unha recta da outra. Dúas seccións dunha mesma radiación son homolóxicas se se cumple que:
- Os puntos homólogos están alineados con outro chamado centro de homoloxía.
- As rectas homólogas córtanse en puntos doutra recta llamada eixe de homoloxía.
TIPOS DE HOMOLOXÍA
Existen 2 tipos de Homología:
- Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
- Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.
DETERMINACIÓN DUNHA HOMOLOXÍA
Unha homoloxía queda determinada con:
A) O centro, o eixe e un par de puntos homólogos
B) O centro, o eixe e un par de rectas homólogas
C) Tres puntos non alineados e os seus homólogos. Os puntos homólogos estarán alineados co centro de homoloxía e as rectas homólogas que os unen cortaranse no eixe de homoloxía.
A) O centro, o eixe e un par de puntos homólogos
B) O centro, o eixe e un par de rectas homólogas
C) Tres puntos non alineados e os seus homólogos. Os puntos homólogos estarán alineados co centro de homoloxía e as rectas homólogas que os unen cortaranse no eixe de homoloxía.
UN EXEMPLO SINXELO
Dados un par de puntos homólogos A-A’, un eixe de Homología, un centro de homología V e o punto B, pídese determinar o punto homólogo do B dado.
Segundo a definición dada máis arriba, “os puntos homólogos están alineados con outro chamado centro de homoloxía”. Polo tanto, o punto homólogo de B debe estar na recta que une o centro V con B. E atendiendo á segunda parte da definición “Rectas homólogas córtanse en puntos de unha recta chamada eixe de homoloxía”, a recta A-B debe cortarse coa súa homóloga no Eixe de Homoloxía.
Unimos A con B e prolongamos ata o eixe. Dende este unimos con A’ e sabemos que nesa recta vai a estar B’. A intersección das dúas rectas anteriores determina a posición do punto B’ homólogo de B.
Unimos A con B e prolongamos ata o eixe. Dende este unimos con A’ e sabemos que nesa recta vai a estar B’. A intersección das dúas rectas anteriores determina a posición do punto B’ homólogo de B.
DÚAS APRECIACIÓNS
- Cualquera punto que se atope no eixe, ten o seu homólogo confundido consigo mesmo. Son puntos dobres.
- Cando unha recta sexa paralela ao eixe, a súa recta homóloga tamén será paralela ao eixe. O que é o mismo que dicir que o punto de corte de ditas rectas homólogas atópase no infinito
RECTAS LÍMITE
Recta Límite é o lugar xeométrico dos puntos cuios homólogos están no infinito. Son siempre paralelas ao eixe de homología. O coñecemento dunha recta límite equivale ao de dúas rectas homólogas. Por tanto, unha homología pode quedar definida dando o centro, o eixe e unha recta límite.
As rectas límite obtéñense de igual xeito, tanto para homoloxía directa como para homoloxía inversa, pero a posición de ditas rectas límite varía.
Dada unha homoloxía, por exemplo, por un centro V, un eixe E e un par de puntos homólogos A-A’ tomaremos un punto aleatorio 1=1’ contido no eixe e o uniremos co punto A e co seu homólogo A’. Esto danos dúas rectas homólogas r y r’.
Trazaremos agora dúas rectas que pasen polo centro V:
En ámbolos dous casos, a distancia (d) dende el centro V a unha recta límite é igual que a distancia dende o eixe á outra recta límite.
Trazaremos agora dúas rectas que pasen polo centro V:
- Unha recta paralela a r, que cortará a r’ e definirá a posición de RL’.
- Outra recta paralela a r’, que cortará a r e definirá a posición de RL.
- Nunha homología directa, as rectas límite atópanse entre o centro e o eixe.
- Nunha homología inversa, as rectas límite atópanse fora da zona entre o centtro e o eixe.
En ámbolos dous casos, a distancia (d) dende el centro V a unha recta límite é igual que a distancia dende o eixe á outra recta límite.
A CIRCUNFERENCIA EN HOMOLOXÍA
Consideremos o caso de que nos dan una homoloxía definida polo eixe de homoloxía, o centro homoloxía e un par de puntos homólogos, en este caso o centro da circunferencia e o seu homólogo.
O método máis doado para debuxar a figura homóloga da circunferencia é dividindo dita circunferencia en 8 partes iguais, empregando un diámetro paralelo ao eixe de homoloxía, outro perpendicular e os dous últimos formando 45º.
O diámetro 1-5, dado que é paralelo ao eixe, tamén o será seu homólogo dende o punto O’. Ao atopar o diámetro homólogo de 4-8, mediante paralelas ao eixe tamén podemos atopar os puntos 2’ e 6’. Por último, atopar o homólogo do segmento 3-7.
Existen outras formas para atopar eixes conxugados, el centro de la elipse, etc., pero polo xeral, no serán necesarios.
O diámetro 1-5, dado que é paralelo ao eixe, tamén o será seu homólogo dende o punto O’. Ao atopar o diámetro homólogo de 4-8, mediante paralelas ao eixe tamén podemos atopar os puntos 2’ e 6’. Por último, atopar o homólogo do segmento 3-7.
Existen outras formas para atopar eixes conxugados, el centro de la elipse, etc., pero polo xeral, no serán necesarios.
AFINIDADE
UnHa afinidad é unha correspondencia entre elementos, de xeito que a cada punto lle facemos corresponder un punto, a cada recta, unha recta e, en xeral, a cada figura plana, outra figura plana.
Os elementos que interveñen nunha afinidade son:
Os elementos que interveñen nunha afinidade son:
- O eixe de afinidade
- Un par de puntos afíns
DETERMINAR UNHA FIGURA AFÍN DUNHA DADA
Pongamos el ejemplo de un cuadrilátero.
A dirección da afinidade ven definida ao unir o punto A con seu afín A’. Xa sabemos que os afíns dos puntos dados atoparanse en rectas paralelas a esta. Podemos por tanto trazar rectas paralelas a A-A’ pasando polos puntos B, C e D
Posto que xa coñecemos o punto afín de A, empregarémolo como base para obtener os demáis. Unimos A con B e o prolongamos ata o eixe. Dende alí, unimos co homólogo A’ e tamén o prolongamos, de xeito que corta á recta da dirección de afinidade que pasa por B. Obtemos así B’.
Para obter o punto afín D’ seguimos o mesmo proceso: unimos A con D e o prolongamos ata o eixe. Dende alí unimos co punto afín A’. D’ atoparase no corte coa recta paralela á dirección de afinidade que pasa por D.
Unha vez que obtivemos novos puntos afíns (B’ y D’) podemos empregalos coma base para resolver os que nos quedan. Obtemos C’ apoiándonos en D, también sería posible definilo ao través de B.
Para obter o punto afín D’ seguimos o mesmo proceso: unimos A con D e o prolongamos ata o eixe. Dende alí unimos co punto afín A’. D’ atoparase no corte coa recta paralela á dirección de afinidade que pasa por D.
Unha vez que obtivemos novos puntos afíns (B’ y D’) podemos empregalos coma base para resolver os que nos quedan. Obtemos C’ apoiándonos en D, también sería posible definilo ao través de B.