Polígono regular
En xeometría, chámase polígono regular a un polígono cuios lados e ángulos interiores son congruentes entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámase triángulo equilátero e cadrado, respectivamente; para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, ...). So algúns polígonos regulares poden ser construidos con regla e compás.
Elementos de un polígono regular
Elementos de un polígono regular
- Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
- Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.
- Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices.
- Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
- Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono.
- Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos.
- Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
- Semiperímetro, SP: es la semisuma del perímetro.
- Os polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos os seus lados son da mesma medida.
- Os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
- Os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.
Ángulos dun polígono regular
Ángulo central
Ángulo interior
Ángulo exterior
- Todos os ángulos centrales dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obtenerse a partires do número de lados n do polígono mide: 360º/n
Ángulo interior
- O ángulo interior, dun polígono regular mide: 180º (n-2)/n
- La suma de los ángulos interiores de un polígono regular é de: 180º (n-2)
Ángulo exterior
- O ángulo exterior, dun polígono regular é de: 360º/n
- A suma dos ángulos exteriores, dun polígono regular é: 360
Triángulo equilátero |
Cuadrado |
Pentágono regular |
Hexágono regular |
Heptágono regular |
Octogóno regular |
Eneagóno regular |
Decágono regular |
Endecágono regular |
Dodecágono regular |
Tridecágono regular |
Tetradecágono regular |
3 LADOS IGUAIS: TRIÁNGULO EQUILÁTERO
Dado o lado ab, traza un arco co centro en a e raio a-b. Co mesmo raio traza outro arco co centro en b. O punto de corte de ambolos dous arcos define o tercer vértice do triángulo.
Dado o lado ab, traza un arco co centro en a e raio a-b. Co mesmo raio traza outro arco co centro en b. O punto de corte de ambolos dous arcos define o tercer vértice do triángulo.
4 LADOS IGUAIS: CADRADO
Dado o lado a-b, existen dúas maneiras de facelo:
Dado o lado a-b, existen dúas maneiras de facelo:
- Debuxa unha recta perpendicular a a-b que pase por b. Co centro en b e raio a-b traza un arco. O punto de corte coa anterior perpendicular dará un tercer vértice do cadrado. Mediante rectas paralelas obténse o cuarto vértice.
- Debuxa unha recta perpendicular a a-b que pase por b. Debuxa unha recta a 45º por a. O punto de corte de ambalas dúas rectas determina o terceiro vértice, o cuarto obténse por rectas paralelas.
5 LADOS IGUAIS: PENTÁGONO REGULAR
Mediante a mediatriz, obtén o punto medio M do segmento ab. Traza unha recta perpendicular a a-b polo punto b. Con centro en b e raio a-b, traza un arco que corte á anterior perpendicular no punto P. Con centro en M e raio M-P traza un arco que corte á prolongación do segmento ab en Q. a-Q é a diagonal do pentágono. Con centro en a e raio a-Q traza un arco que corte coa extensión do arco a-D no vértice c. Con centro en c e raio a-b traza un arco que cortará ao anterior Q-c en d. Facendo centro en a e en d con raio a-b se obténse o vértice e.
Mediante a mediatriz, obtén o punto medio M do segmento ab. Traza unha recta perpendicular a a-b polo punto b. Con centro en b e raio a-b, traza un arco que corte á anterior perpendicular no punto P. Con centro en M e raio M-P traza un arco que corte á prolongación do segmento ab en Q. a-Q é a diagonal do pentágono. Con centro en a e raio a-Q traza un arco que corte coa extensión do arco a-D no vértice c. Con centro en c e raio a-b traza un arco que cortará ao anterior Q-c en d. Facendo centro en a e en d con raio a-b se obténse o vértice e.
6 LADOS IGUAIS: HEXÁGONO REGULAR
Co centro en a e raio a-b traza un arco de circunferencia. Co centro en b e o mesmo raio a-b debuxa outro arco que cortará ao anterior no centro O da circunferencia circunscrita ao hexágono.
Debuxa a circunferencia de centro O e raio O-a. Co centro en b e raio b-a debuxa un arco que cortará á circunferencia en c. Dende c podes trazar outro arco co mismo raio a-b que dará un novo vértice do hexágono d.
Co centro en a e raio a-b traza un arco de circunferencia. Co centro en b e o mesmo raio a-b debuxa outro arco que cortará ao anterior no centro O da circunferencia circunscrita ao hexágono.
Debuxa a circunferencia de centro O e raio O-a. Co centro en b e raio b-a debuxa un arco que cortará á circunferencia en c. Dende c podes trazar outro arco co mismo raio a-b que dará un novo vértice do hexágono d.
7 LADOS IGUAIS: HEPTÁGONO REGULAR
Traza unha recta perpendicular ao segmento a-b pasando por b. Debuxa unha recta con un ángulo de 30º por a que cortará á anterior perpendicular no punto P. Con centro en a e raio a-P traza un arco de circunferencia que corta á mediatriz do segmento a-b nol punto O. Este punto O é o centro da circunferencia circunscrita ao heptágono.
Traza unha recta perpendicular ao segmento a-b pasando por b. Debuxa unha recta con un ángulo de 30º por a que cortará á anterior perpendicular no punto P. Con centro en a e raio a-P traza un arco de circunferencia que corta á mediatriz do segmento a-b nol punto O. Este punto O é o centro da circunferencia circunscrita ao heptágono.
8 LADOS IGUAIS: OCTÓGONO REGULAR
Por a e b trazar dúas rectas que formen 45º co lado ab. Ambalas dúas rectas córtanse no punto M. Co centro en M e raio M-a traza un arco que corta á mediatriz do segmento ab no punto O, centro da circunferencia circunscrita ao octógono.
Por a e b trazar dúas rectas que formen 45º co lado ab. Ambalas dúas rectas córtanse no punto M. Co centro en M e raio M-a traza un arco que corta á mediatriz do segmento ab no punto O, centro da circunferencia circunscrita ao octógono.
9 LADOS IGUAIS: ENEÁGONO REGULAR
Co centro en A e en B e raio AB trazar dous arcos que se corten en un punto que chamaremos C. Trazar candansúa semirecta dende A e dende B pasanso por C. Trazar a bisectriz do ángulo BAC que corta na meiatriz nun punto. Facendo centro en C e co raio CE trazamos unha circunferencia que cortará ás semirrectas en E e F. Trazamos o segmento EF que corta na meiatriz en O que é o centro da circunferencia que na que está inscrito o eneágono.
Co centro en A e en B e raio AB trazar dous arcos que se corten en un punto que chamaremos C. Trazar candansúa semirecta dende A e dende B pasanso por C. Trazar a bisectriz do ángulo BAC que corta na meiatriz nun punto. Facendo centro en C e co raio CE trazamos unha circunferencia que cortará ás semirrectas en E e F. Trazamos o segmento EF que corta na meiatriz en O que é o centro da circunferencia que na que está inscrito o eneágono.
n LADOS IGUAIS: POLÍGONO REGULAR DE n (6-12) LADOS
Co centro en a e en b e raio a-b trazar dous arcos que se corten en un punto que chamaremos 06, porque é o centro de la circunferencia circunscrita ao polígono regular de 6 lados. Con centro en 06 e raio 06-a trazar un arco que corte á mediatriz do segmento ab en 12. Mediante o teorema de Thales, divide o segmento 06-12 en 6 partes iguais, ás que llamaremos 07, 08, 09… Cada un de eles é o centro da circunferencia circunscrita ao polígono regular de esa cantidade de lados.
Nste exemplo está debuxado un polígono regular de 11 lados.
Co centro en a e en b e raio a-b trazar dous arcos que se corten en un punto que chamaremos 06, porque é o centro de la circunferencia circunscrita ao polígono regular de 6 lados. Con centro en 06 e raio 06-a trazar un arco que corte á mediatriz do segmento ab en 12. Mediante o teorema de Thales, divide o segmento 06-12 en 6 partes iguais, ás que llamaremos 07, 08, 09… Cada un de eles é o centro da circunferencia circunscrita ao polígono regular de esa cantidade de lados.
Nste exemplo está debuxado un polígono regular de 11 lados.