Dúas figuras poden ter entre sí unha serie de relacións xeométricas atendendo á súa forma, ao seu tamaño ou á súa disposición.
A relación máis sinxela é a igualdade.
A relación máis sinxela é a igualdade.
Unha figura é igual a outra cando todos os seus ángulos e os seus lados son iguais.
Existen diferentes procedementos que nos permiten construir unha figura igual a outra: traslación, xiro, triangulación, uso de eixes de coordenadas e copia de ángulos.
Existen diferentes procedementos que nos permiten construir unha figura igual a outra: traslación, xiro, triangulación, uso de eixes de coordenadas e copia de ángulos.
Traslación
Dada unha figura, obtendremos unha igual que ela trasladando cada vértice unha misma distancia segundo un vector de traslación
XIRO
Xiro do punto de recta
Xiro dunha figura
SIMETRÍA
Dúas figuras poden ser simétricas con respecto a un punto (simetría central) ou con respecto a unha recta (simetría axial).
Nunha simetría central, cúmplese que a distancia dos puntos simétricos ao centro de la simetría é a mesma, e ámbolos dous están aliñados con este centro.
Na simetría axial, as distancias dos puntos simétricos ao eixe de simetría é a mesma, e ámbolos dous atópanse nunha mesma perpendicular a dito eixe.
Nunha simetría central, cúmplese que a distancia dos puntos simétricos ao centro de la simetría é a mesma, e ámbolos dous están aliñados con este centro.
Na simetría axial, as distancias dos puntos simétricos ao eixe de simetría é a mesma, e ámbolos dous atópanse nunha mesma perpendicular a dito eixe.
Agora veremos o estudio da simetría axial, xa que a simetría central pódese considerar coma un caso particular de xiro, no que o ángulo é 180º.
Nunha simetría axial, son invariantes os puntos do eixe.
O produto de dúas simetrías axiais é un xiro cuio centro é o punto de corte dos dous eixes das simetrías.
Nunha simetría axial, son invariantes os puntos do eixe.
O produto de dúas simetrías axiais é un xiro cuio centro é o punto de corte dos dous eixes das simetrías.
Exemplo práctico: Nunha mesa de billar, determinar unha carambola dende A hasta B a 2 bandas (dúas das posibles solucións).
Igual que o anterior, pero a 3 bandas (unh das solucións de todas as posibles). Nesta gráfica pronlóngase un lado da mesa, que actúa como eixe de simetría.
Igual que o anterior, pero a 3 bandas (unh das solucións de todas as posibles). Nesta gráfica pronlóngase un lado da mesa, que actúa como eixe de simetría.
HOMOTECIA
A Homotecia é unha transformación xeométrica plana, na que os puntos relacionados ou transformados denomínanse homotéticos, e cumplen as siguientes condicións:
- Os puntos homotéticos están aliñados con un terceiro fixo chamado centro da Homotecia (O).
- A relación entre os segmentos definidos por este centro e os puntos transformado e original é una constante denominada razón da homotecia (k).
Propiedades
Dúas figuras homotéticas gardan relación de semellanza.
O centro da Homotecia é invariante, e as rectas que pasan polo centro da Homotecia también o son, aunque non o son por puntos (os puntos non son dobles).
En unha Homotecia pueden darse os seguintes casos:
O centro da Homotecia é invariante, e as rectas que pasan polo centro da Homotecia también o son, aunque non o son por puntos (os puntos non son dobles).
En unha Homotecia pueden darse os seguintes casos:
- Se a constante k é maior que 0, a Homotecia denomínase directa, e nela os puntos homotéticos están ámbolos dous ao mesmo lado do centro da Homotecia.
- Se a constate k é menor que 0, a Homotecia denomínase inversa, e nela os puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto ao centro da Homotecia.
- Se a constante k é 1, a figura homotética coincide coa orixinal, e a transformación denomínase Función Identidade.
- Se a constante k é -1, a Homotecia convírtese en unha Simetría Central.
- Se o valor absoluto da constante k é maior que 1, a Homotecia produce un aumento do tamaño (a figura final é maior que a orixinal).
- Se o valor absoluto da constante k é menor que 1, a Homotecia produce unha diminución do tamaño (a figura final é menor que a orixinal).
Dúas rectas homotéticas sempre son paralelas, e a razón de lonxitude de dous segmentos homotéticos é igual á razón da homotecia (k).
A Homotecia es unha transformación plana reversible, esto é, se aplicamos unha homotecia a unha figura e despois aplicamos unha segunda homotecia de igual centro e con igual razón, pero de diferente signo, obtemos a figura orixinal.
Unha Homotecia de centro impropio (no infinito) é unha Traslación.
A Homotecia es unha transformación plana reversible, esto é, se aplicamos unha homotecia a unha figura e despois aplicamos unha segunda homotecia de igual centro e con igual razón, pero de diferente signo, obtemos a figura orixinal.
Unha Homotecia de centro impropio (no infinito) é unha Traslación.
Homotecia de circunferencias
A homotética dunha circunferencia é outra circunferencia cuio centro é o homotético do centro da primeira, e cuios puntos son homotéticos un a un.
Dadas dúas circunferencias calesqueira, sempre existen dúas Homotecias que as relacionan, unha delas directa e a outra inversa. En calqueira dos dous casos, o centro da Homotecia está aliñado cos dous centros das circunferencias (na figura anterior e na seguinte móstranse, respectivamente, as homotecias directa e inversa que relacionan dúas circunferencias).
Producto de dúas Homotecias
O produto de dúas homotecias é outra homotecia, cuio centro está aliñado cos centros das dúas transformacións orixinais (aínda que esta homotecia final pode resultar de centro impropio, convertíndose en unha traslación) e cuia razón é o produto das dúas razóns.
EQUIVALENCIAS
Dúas figuras son equivalentes cando teñen distinta forma pero ocupan a mesma superficie, ocorrindo que unha de elas pode ter un número de lados distinto á outra , pero ámbalas dúas ocuparán a mesma superficie. Para comprender mellor as equivalencias imos repasar o cálculo das superficies de distintas figuras xeométricas.
Equivalencia e triangulación
Xeralmente a equivalencia entre polígonos determínase mediante triangulación, descompoñendo o polígono orixe no menor número de triángulos posibles e calculando outro triángulo equivalente de xeito que un vértice se suprime, así a figura resultante terá un lado menos, pero ocupará a mesma superficie.
Polígono equivalente a outro dado cun lado menos.
Este é o método xeral para poder debuxar polígonos equivalentes, está baseado no procedimiento anterior. Trátase de suprimir un vértice en cada paso, de xeito que o siguinte polígono que se determine terá un lado menos.
CUADRADO DE DOBLE, TRIPLE,... AREA
La diagonal del cuadrado es el lado del cuadrado con doble área
La diagonal (D) del rectangulo con lados diagonal del cuadrado y lado es el lado del cuadrado con triple área