O sistema diédrico é o sistema de representación básico, pois en el están baseadas a maior parte das representacións de plantas e alzados nos planos dun proxecto.
Gaspard Monge (1746-1818), matemático e militar francés ao servicio de Napoleón, foi quen sistematizou o estudio do sistema diédrico, razón pola que tamén é coñecido coma sistema Monge.
Gaspard Monge (1746-1818), matemático e militar francés ao servicio de Napoleón, foi quen sistematizou o estudio do sistema diédrico, razón pola que tamén é coñecido coma sistema Monge.
Elementos do sistema diédrico
No sistema diédrico interveñen dous planos de proxección perpendiculare entre sí, que reciben o nome de plano horizontal de proxección ou PH, e plano vertical de proxección ou PV. A recta de intersección de ámbolos dous planos chámase liña de terra.
Para que a representación sexa completamente precisa necesitamos os dous valores. ¿Por qué? Porque con un único valor non quedaría definido con precisión. Ocorre algo parecido co ollo humano. Para que o noso cerebro poida entender as profundidades necesitamos os dous ollos. Ao sintetizar a información de ambos ollos no cerebro conseguimos definir perfectamente a posición de cada obxecto no espazo.
Para que a representación sexa completamente precisa necesitamos os dous valores. ¿Por qué? Porque con un único valor non quedaría definido con precisión. Ocorre algo parecido co ollo humano. Para que o noso cerebro poida entender as profundidades necesitamos os dous ollos. Ao sintetizar a información de ambos ollos no cerebro conseguimos definir perfectamente a posición de cada obxecto no espazo.
Plano Vertical
Plano Horizontal
Os planos de proxección dividen ao espazo real en en catro zonas, chamadas cuadrantes ou diedros.
A rexión definida polos planos horizontal anterior e vertical superior denomínase primeiro cuadrante. O observador suponse ubicado neste cuadrante, polo que todo elemento situado neste cuadrante queda á vista, mentres que quedan ocultos todos os elementos situados no resto dos cuadrantes, aos que se denomina, segundo, terceiro e cuarto cuadrante.
A rexión definida polos planos horizontal anterior e vertical superior denomínase primeiro cuadrante. O observador suponse ubicado neste cuadrante, polo que todo elemento situado neste cuadrante queda á vista, mentres que quedan ocultos todos os elementos situados no resto dos cuadrantes, aos que se denomina, segundo, terceiro e cuarto cuadrante.
Representación de un punto
Para representar un punto P calquera do espazo proxéctase o punto perpendicularmente sobre o plano horizontal en P' e sobre o plano vertical en P". Abátese o plano vertical sobre o horizontal de xeito que o plano vertical superior coincida co plano horizontal posterior. A continuación, colócase o plano horizontal en fronte coma si fose unha folla de papel.
As dúas proxeccións P' e P", aparecen unidas mediante unha recta ficticia, perpendicular a liña de terra, chamada liña de referencia do punto. Deste xeito, calquera punto do espazo ten a súa representación sobre o papel ou plano de proxección e inversamente, ás proxeccións P' e P" correspóndelles un único punto P no espazo.
As dúas proxeccións P' e P", aparecen unidas mediante unha recta ficticia, perpendicular a liña de terra, chamada liña de referencia do punto. Deste xeito, calquera punto do espazo ten a súa representación sobre o papel ou plano de proxección e inversamente, ás proxeccións P' e P" correspóndelles un único punto P no espazo.
Representación de un Punto
Un punto situado no espazo represéntase mediante as súas dúas proxeccións (como as sombras) sobre os planos principais: proxeccións horizontais e proyeccións verticais.
Cota
Denomínase cota dun punto do espazo á distancia entre él e a súa proxección no plano horizontal, ou o que é o mesmo á distancia entre a proxección vertical e a Liña de Terra (LT).
Afastamento
Denomínase afastamento dun punto do espazo á distancia entre él e a súa proxección no plano vertical, ou o que é o mesmo á distancia entre a proxección horizontal e a Liña de Terra (LT).
Un punto situado no espazo represéntase mediante as súas dúas proxeccións (como as sombras) sobre os planos principais: proxeccións horizontais e proyeccións verticais.
Cota
Denomínase cota dun punto do espazo á distancia entre él e a súa proxección no plano horizontal, ou o que é o mesmo á distancia entre a proxección vertical e a Liña de Terra (LT).
Afastamento
Denomínase afastamento dun punto do espazo á distancia entre él e a súa proxección no plano vertical, ou o que é o mesmo á distancia entre a proxección horizontal e a Liña de Terra (LT).
Representaremos un punto. O primeiro é que para debuxar as súas dúas proxeccións sobre os planos nun papel teremos que abatir (abrir) os dous planos para que nos quede en dúas dimensións (as que ten o papel) e logo debuxar as súas proxeccións sobre os planos.
Na figura temos o punto colocado no espacio sobre os dous planos e á dereita vemos a representación sobre o papel. |
Representación dunha Recta
Unha recta está definida cando se coñecen as súas dúas proxeccións, horizontal e vertical. A proxección dunha recta sobre un plano é outra recta, formada pola proxección de todos os puntos de ela.
Coñeciendo as parellas de proxeccións (sobre o plano vertical e sobre o horizontal) de dous puntos de unha recta, obtense a proxección unindo os dous puntos.
Unha recta está definida cando se coñecen as súas dúas proxeccións, horizontal e vertical. A proxección dunha recta sobre un plano é outra recta, formada pola proxección de todos os puntos de ela.
Coñeciendo as parellas de proxeccións (sobre o plano vertical e sobre o horizontal) de dous puntos de unha recta, obtense a proxección unindo os dous puntos.
Representación dun Plano
Xa temos aprendido os conceptos e procedementos para determinar as proyecciones diédricas dun punto e unha recta..
Xeralmente entendemos que unha superficie plana é aquela que pode conter unha recta imaxinaria en calquera dirección.
A definición anterior a podemos aplicar ao referirnos a un plano no Sistema Diédrico.
As caras dunha forma, obxecto, poliedro, etc., son planos delimitados por aristas (segmentos de rectas) e vértices (puntos).
No Sistema Diédrico entendemos que un plano é unha superficie plana infinita e ilimitada.
Para definir un plano precisamos a conxución dos siguientes elementos geométricos:
- tres puntos calquera que non estén aliñados,
- unha rectae un punto exterior a ela,
- dúas rectas que se cortan,
- dúas rectas paralelas.
Xa temos aprendido os conceptos e procedementos para determinar as proyecciones diédricas dun punto e unha recta..
Xeralmente entendemos que unha superficie plana é aquela que pode conter unha recta imaxinaria en calquera dirección.
A definición anterior a podemos aplicar ao referirnos a un plano no Sistema Diédrico.
As caras dunha forma, obxecto, poliedro, etc., son planos delimitados por aristas (segmentos de rectas) e vértices (puntos).
No Sistema Diédrico entendemos que un plano é unha superficie plana infinita e ilimitada.
Para definir un plano precisamos a conxución dos siguientes elementos geométricos:
- tres puntos calquera que non estén aliñados,
- unha rectae un punto exterior a ela,
- dúas rectas que se cortan,
- dúas rectas paralelas.
Distintas posicións de planos no Sistema Diédrico.
Intersección de dúas rectas
A intersección de dúas rectas no espazo é un punto. Esto quere dicir que cando dúas rectas se cortan, existe un único punto en común, é dicir, un punto que pertenece a ámbalas dúas é chámase punto de intersección. Dúas rectas córtanse no espazo se son coplanarias.
Si dúas rectas non teñen ningún punto en común, entonces estas rectas crúzanse no espazo. O xeito de detectar que dúas rectas se cortan é mirando se os puntos de corte das proxeccións verticais coincide cos puntos de corte das proxeccións horizontais.
Si dúas rectas non teñen ningún punto en común, entonces estas rectas crúzanse no espazo. O xeito de detectar que dúas rectas se cortan é mirando se os puntos de corte das proxeccións verticais coincide cos puntos de corte das proxeccións horizontais.
Intersección de dous planos
A intersección de dous planos é unha recta. Esta recta obviamente, é común a ámbolos dous planos, é dicir, pertence a ámbolos dous planos simultáneamente.
Para definir cualquier recta só compren 2 puntos da mesma e eso é lo que faremos para atopar a recta de intersección. Estes dous puntos os conseguiremos da intersección de dous pares de rectas. |
Intersección de tres planos
Se temos, por exemplo, os planos A, B e C, os planos A-B dan unha recta de intersección i1, os planos B-C dan outra recta de intersección i2.
A intersección destas dúas rectas i1-i2 é un punto, como xa sabemos.
Este punto I será o punto de intersección dos 3 planos.
A intersección destas dúas rectas i1-i2 é un punto, como xa sabemos.
Este punto I será o punto de intersección dos 3 planos.
Para definir a recta de intersección de dous planos precissmos 2 puntos da mesma e estes puntos os obteremos da intersección de dous pares de rectas.
Para que dúas rectas se corten hemos teñen que ser coplanarias e, polo tanto, o máis sinxelo será utilizar as trazas do plano.
As trazas do plano son as rectas de intersección dun plano cos planos de proxección. Polo tanto, si empregamos as trazas dos planos estamos utilizando rectas coplanarias e como consecuencia nos aseguramos de que se cortan.
Volvendo ao exemplo anterior dos planos A e B, a intersección do plano A co plano vertical de proxección é a traza A’ (unha recta).
Do mesmo xeito, a intersección do plano B co plano vertical de proxección é a traza B’ (tamén unha recta).
A intersección das trazas A’ con B’ danos necesariamente un único punto, porque son rectas coplanarias (ambalas dúas pertencen ao plano vertical de proxección).
O punto que conseguimos na intersección é V definido pola súa proxección horizontal v e vertical v’.
Si siguimos o mesmo razoamento para as trazas horizontais obteremos o punto H (h’-h).
Si unimos H con V, é dicir h’-v’ e h-v obtemos a recta intersección I (i’-i) dos planos A, B.
Para que dúas rectas se corten hemos teñen que ser coplanarias e, polo tanto, o máis sinxelo será utilizar as trazas do plano.
As trazas do plano son as rectas de intersección dun plano cos planos de proxección. Polo tanto, si empregamos as trazas dos planos estamos utilizando rectas coplanarias e como consecuencia nos aseguramos de que se cortan.
Volvendo ao exemplo anterior dos planos A e B, a intersección do plano A co plano vertical de proxección é a traza A’ (unha recta).
Do mesmo xeito, a intersección do plano B co plano vertical de proxección é a traza B’ (tamén unha recta).
A intersección das trazas A’ con B’ danos necesariamente un único punto, porque son rectas coplanarias (ambalas dúas pertencen ao plano vertical de proxección).
O punto que conseguimos na intersección é V definido pola súa proxección horizontal v e vertical v’.
Si siguimos o mesmo razoamento para as trazas horizontais obteremos o punto H (h’-h).
Si unimos H con V, é dicir h’-v’ e h-v obtemos a recta intersección I (i’-i) dos planos A, B.
Método maestro para interseccións de planos
É o método que sempre funciona. É un método que servirá para cualquier problema de intersección de planos. Ademáis, xa que funciona sempre, pode servir para confirmar a solución.
El método consiste en utilizar dous planos auxiliares.
Pongamos el caso de que tenemos dous planos P, Q dos que tenemos que encontrar a intersección e que, por exemplo, as trazas córtanse fora dos límites do papel.
Neste caso podemos empregar dous planos auxiliares A e B. Faremos en primer lugar a intersección do plano A cos planos P, Q.
Posto que se trata da intersección de 3 planos,o resultado é un punto.
Despois faremos a intersección do plano B cos planos P e Q cos que obtendremos outro punto.
A unión destes dos puntos é a recta de intersección.
Utilizaremos os planos máis sinxelos posibles, un plano A horizontal e un plano B frontal.
A intersección de A con P e Q da como resultado o punto M.
A intersección de B con P e Q da como resultado N.
A recta M-N é a intersección dos planos P e Q.
Esto pode facerse con planos auxiliares paralelos aos de proxección pode facerse con calquera outro tipo de plano: oblicuo, proyectante, paralela á líña de terra…
Buscaremos o que máis convenña ou o que máis doado resulte.
El método consiste en utilizar dous planos auxiliares.
Pongamos el caso de que tenemos dous planos P, Q dos que tenemos que encontrar a intersección e que, por exemplo, as trazas córtanse fora dos límites do papel.
Neste caso podemos empregar dous planos auxiliares A e B. Faremos en primer lugar a intersección do plano A cos planos P, Q.
Posto que se trata da intersección de 3 planos,o resultado é un punto.
Despois faremos a intersección do plano B cos planos P e Q cos que obtendremos outro punto.
A unión destes dos puntos é a recta de intersección.
Utilizaremos os planos máis sinxelos posibles, un plano A horizontal e un plano B frontal.
A intersección de A con P e Q da como resultado o punto M.
A intersección de B con P e Q da como resultado N.
A recta M-N é a intersección dos planos P e Q.
Esto pode facerse con planos auxiliares paralelos aos de proxección pode facerse con calquera outro tipo de plano: oblicuo, proyectante, paralela á líña de terra…
Buscaremos o que máis convenña ou o que máis doado resulte.
Intersección de recta e plano. Método de tres pasos
Dados un plano P y una recta R tendremos que encontrar la intersección de R con P. Este es el método en 3 sencillos pasos
Dibuja un plano Q que contenga a la recta R. Esto es lo mismo que decir que dibujes un plano Q cuyas trazas Q’-Q contengan a los puntos traza de la recta R. Lo más sencillo y lo que yo recomiendo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los de proyección (plano horizontal o frontal). Veremos por qué.
Encuentra la recta intersección S de los planos P, Q. Esto es lo que vimos en el artículo de intersección de planos.
El punto de intersección I (i’-i) de la recta S con la recta dada R es la solución, es decir, la intersección del plano P con la recta R. Dibujar las dos proyecciones del punto.
Dibuja un plano Q que contenga a la recta R. Esto es lo mismo que decir que dibujes un plano Q cuyas trazas Q’-Q contengan a los puntos traza de la recta R. Lo más sencillo y lo que yo recomiendo es utilizar planos proyectantes (proyectante horizontal o vertical) o planos paralelos a los de proyección (plano horizontal o frontal). Veremos por qué.
Encuentra la recta intersección S de los planos P, Q. Esto es lo que vimos en el artículo de intersección de planos.
El punto de intersección I (i’-i) de la recta S con la recta dada R es la solución, es decir, la intersección del plano P con la recta R. Dibujar las dos proyecciones del punto.
PARALELISMO
Díse que dous elementos son paralelos cando manteñen unha distancia constante entre eles. Esto significa que nunca se cortarán e, por tanto, non teñen ningún punto en común.
Esto é aplicable aos tres casos que veremos de paralelismo entre rectas, entre planos e, entre recta e plano.
Esto é aplicable aos tres casos que veremos de paralelismo entre rectas, entre planos e, entre recta e plano.
Paralelismo entre rectas
Dúas rectas son paralelas entre sí cando as súas proxeccións son paralelas.
É importante observar que as proyeccións verticais teñen que ser paralelas entre sí e as proxeccións horizontais paralelas entre sí. De tal xeito que si temos dúas rectas dadas pola súas proxeccións r’-r, s’-s, para que sexan paralelas, r’ deberá ser paralela a s’ e r deberá ser paralela a s.
Para debuxar unha recta u´-u paralela a unha dada t´-t por un punto a’-a, simplemente haberá que debuxar a proección horizontal ou paralela a t pasando pola a e a proxección vertical u’ paralela a t’ pasando por a’.
É importante observar que as proyeccións verticais teñen que ser paralelas entre sí e as proxeccións horizontais paralelas entre sí. De tal xeito que si temos dúas rectas dadas pola súas proxeccións r’-r, s’-s, para que sexan paralelas, r’ deberá ser paralela a s’ e r deberá ser paralela a s.
Para debuxar unha recta u´-u paralela a unha dada t´-t por un punto a’-a, simplemente haberá que debuxar a proección horizontal ou paralela a t pasando pola a e a proxección vertical u’ paralela a t’ pasando por a’.
Paralelismo entre planos
Dous planos son paralelos entre eles cando as súas trazas son paralelas.
O paralelismo entre planos vese directamente en Sistema Diédrico.
As trazas verticais teñen que ser paralelas entre elas e as trazas horizontais, paralelas entre elas.
Dados dous planos no Sistema Diédrico definidos polas súas trazas P’-P e Q’-Q, estes serán paralelos cando P’ sexa paralelo a Q’ e á súa vez P sexa paralelo a Q.
Para trazar un plano W’-W paralelo a un dado X’-X pasando por un punto a’-a precesaos utilizar unha recta auxiliar r’-r paralela ao plano dado para definir os puntos trazamos polos que pasarán as trazas do plano paralelo. Neste caso, empregaremos a recta que máis cómoda resulte (horizontal, frontal…)
O paralelismo entre planos vese directamente en Sistema Diédrico.
As trazas verticais teñen que ser paralelas entre elas e as trazas horizontais, paralelas entre elas.
Dados dous planos no Sistema Diédrico definidos polas súas trazas P’-P e Q’-Q, estes serán paralelos cando P’ sexa paralelo a Q’ e á súa vez P sexa paralelo a Q.
Para trazar un plano W’-W paralelo a un dado X’-X pasando por un punto a’-a precesaos utilizar unha recta auxiliar r’-r paralela ao plano dado para definir os puntos trazamos polos que pasarán as trazas do plano paralelo. Neste caso, empregaremos a recta que máis cómoda resulte (horizontal, frontal…)
Paralelismo entre recta e plano
Unha recta é paralela a un plano cando é paralela a unha recta contenida no plano.
Esto significa que o paralelismo entre rectas e planos non se ve directamente no diédrico. Necesitaremos sempre una recta auxiliar para comprobar que son paralelos.
Para debuxar unha recta t´-t paralela a un plano dado Q´-Q que pase por un punto a’-a teremos que debuxar unha recta s’-s cualquiera contida no plano Q’-Q e despois trazar polo punto unha recta paralela á dita recta s’-s. (para trazar unha recta contida nun plano compre que os súas trazas estén contenidos nas trazas do plano)
Esto significa que o paralelismo entre rectas e planos non se ve directamente no diédrico. Necesitaremos sempre una recta auxiliar para comprobar que son paralelos.
Para debuxar unha recta t´-t paralela a un plano dado Q´-Q que pase por un punto a’-a teremos que debuxar unha recta s’-s cualquiera contida no plano Q’-Q e despois trazar polo punto unha recta paralela á dita recta s’-s. (para trazar unha recta contida nun plano compre que os súas trazas estén contenidos nas trazas do plano)
1. Se temos que comprobar se unha recta r’-r é paralela a un plano P’-P, Debuxaremos unha recta s´-s paralela á dada que pase por un punto a’-a do plano e deberás comprobar si esta recta está contida no plano. Si o está, a recta R e o plano P son paralelos.
2. Tamén poderias ter que debuxar un plano Q´-Q paralelo a unha recta t’-t que pase por un punto exterior b’-b. Hai que debuxar unha recta u´-u paralela á recta dada, obter as súas trazas e por elas trazar un plano calquera Q’-Q. A recta T e o plano Q son paralelos.