Un poliedro regular é un corpo xeométrico no que as súas caras son todas polígonos regulares iguais, e todos os seus diedros e ángulos poliédricos son tamén iguais entre sí.
Téñense encontrado nove poliedros regulares, que se dividen en dous grupos: cinco de eles son poliedros convexos, que corresponden á familia de sólidos de Platón e os catro restantes son poliedros non convexos, que corresponden á familia dos sólidos de Kepler-Poinsot.
Os cinco poliedros regulares convexos fueron observados por Platón, quen marabillado polas súas propiedades, asocióu cada uno de eles a un «elemento» primixenio da súa filosofía: aire, agua, tierra y fuego. Curiosamente, asocióu o dodecaedro ao «quinto elemento» ou ente espiritual da súa teoría da materia.
En esta estructura de pensamento moitos ven a xénesis da teoría molecular, pois moitos elementos cristalinos teñen unha estructura atómica que obedece á forma de tales poliedros.
Os poliedros regulares convexos son, para moits autores, os únicos poliedros puramente regulares; incluso a expresión «poliedro regular», para algúns, refírese únicamente á familia de sólidos de Platón, o que pode estar relacionado coa imposibilidade de existencia dos sólidos de Kepler-Poinsot en un espazo real, debido a que as súas caras atraviesanse entre sí; polo tanto sólo se poden construir representaciones de estos que non son máis que poliedros irregulares no convexos.
En esta estructura de pensamento moitos ven a xénesis da teoría molecular, pois moitos elementos cristalinos teñen unha estructura atómica que obedece á forma de tales poliedros.
Os poliedros regulares convexos son, para moits autores, os únicos poliedros puramente regulares; incluso a expresión «poliedro regular», para algúns, refírese únicamente á familia de sólidos de Platón, o que pode estar relacionado coa imposibilidade de existencia dos sólidos de Kepler-Poinsot en un espazo real, debido a que as súas caras atraviesanse entre sí; polo tanto sólo se poden construir representaciones de estos que non son máis que poliedros irregulares no convexos.
TETRAEDRO
O Tetraedro pódese considerar como unha pirámide recta e regular, de catro caras idénticas e cuxa base –e por tanto as súas caras laterais– son triángulos equiláteros. Os lados de estes triángulos son as aristas da superficie.
TETRAEDRO CON UNHA DAS SÚAS CARAS APOIADA NO PLANO HORIZONTAL DE PROXECCIÓN
Debuxamos unha de estas caras sobre o plano horizontal de proxección para una magnitud arbitraria de la arista e completamos esta vista debuxando a proxección do vértice superior V que coincide co centro do triángulo.
Para debuxar a proxección vertical, tendremos en conta que a magnitud da altura do tetraedro está en función da magnitude das súas aristas. Esta é o cateto mayor dun triángulo rectángulo, sendo o cateto menor a proxección horizontal dunha das aristas (v-b) e a hipotenusa, a verdadeira magnitude de dita arista.
Determinada a altura h debuxamos a proxección vertical do cuerpo.
Debuxamos unha de estas caras sobre o plano horizontal de proxección para una magnitud arbitraria de la arista e completamos esta vista debuxando a proxección do vértice superior V que coincide co centro do triángulo.
Para debuxar a proxección vertical, tendremos en conta que a magnitud da altura do tetraedro está en función da magnitude das súas aristas. Esta é o cateto mayor dun triángulo rectángulo, sendo o cateto menor a proxección horizontal dunha das aristas (v-b) e a hipotenusa, a verdadeira magnitude de dita arista.
Determinada a altura h debuxamos a proxección vertical do cuerpo.
TETRAEDRO CON UNHA DAS SÚAS ARISTAS CONTIDA NO PLANO HORIZONTAL DE PROXECCIÓN SENDO OUTRA HORIZONTAL.
Cando o tetraedro está nesta posición, o contorno aparente das súas aristas en proxección horizontal é un cadrado.
As diagonais deste cuadrado son as aristas “contida e paralela” o plano horizontal de proxección (ás que fai referencia o título) que están en verdadeira magnitude.
Debuxaremos por tanto un cadrado a partires das súas diagonais de valor igual ao valor constante da arista do cuerpo. Fig. 2
A altura -h- do corpo é a mínima distancia existente entre as dúas aristas mencionadas ou, a distancia entre os puntos medios m e máis n de ambalas dúas. Dita altura é, á súa vez, o cateto maior de un triángulo rectángulo de cateto menor igual á metade da arista do cuerpo e de hipotenusa a altura dunha das caras segundo se advierte na i figura 3. Determinada a altura, debuxamos a proxección vertical do corpo.
Cando o tetraedro está nesta posición, o contorno aparente das súas aristas en proxección horizontal é un cadrado.
As diagonais deste cuadrado son as aristas “contida e paralela” o plano horizontal de proxección (ás que fai referencia o título) que están en verdadeira magnitude.
Debuxaremos por tanto un cadrado a partires das súas diagonais de valor igual ao valor constante da arista do cuerpo. Fig. 2
A altura -h- do corpo é a mínima distancia existente entre as dúas aristas mencionadas ou, a distancia entre os puntos medios m e máis n de ambalas dúas. Dita altura é, á súa vez, o cateto maior de un triángulo rectángulo de cateto menor igual á metade da arista do cuerpo e de hipotenusa a altura dunha das caras segundo se advierte na i figura 3. Determinada a altura, debuxamos a proxección vertical do corpo.
TETRAEDRO CON UNHA DAS SÚAS CARAS APOIADA EN UN PLANO OBLÍCUO CALQUERA
Dado o plano oblicuo Q, debuxaremos sobre el un tetraedro de arista definida e centro O de dita cara contida nel.
Abatemos o centro O dado sobre un dos planos de proxección, no exercicio da figura 4 sobre o plano horizontal de proxección, e debuxamos en verdadeira magnitude, o triángulo equilátero da cara do tetraedro correspondente a este centro.
Desabatemos o plano Q e con el a cara ABC debuxada obtendo deste xeito a súa proxección horizontal. Calculamos a proxección vertical axudándonos de rectas do plano (no exemplo, horizontais) que conteñan aos puntos A, B e C.
O vértice superior V do tetraedro está sobre unha recta perpendicular ao plano Q que contén á base, trazada polo centro O.
A súa posición sobre esta perpendicular queda determinada pola altura do tetraedro que, como sabemos, está en función da arista do corpo. Determinamos a altura h sobre a cara abatida como no exercicio da figura 1.
Para situar sobre a recta perpendicular ao plano Q, a partir do punto O, a magnitud da altura, tomamos un punto arbitrario M de esta recta e calculamos a verdadeira magnitude del segmento O-M mediante un xiro. Sobre o segmento o’-M1 (en verdadeira magnitude) e a partires de o’, levamos a altura h determinada e obtemos o punto V1. Desfacendo o xiro queda determinada a proxección vertical v’ buscada, do vértice superior.
Dado o plano oblicuo Q, debuxaremos sobre el un tetraedro de arista definida e centro O de dita cara contida nel.
Abatemos o centro O dado sobre un dos planos de proxección, no exercicio da figura 4 sobre o plano horizontal de proxección, e debuxamos en verdadeira magnitude, o triángulo equilátero da cara do tetraedro correspondente a este centro.
Desabatemos o plano Q e con el a cara ABC debuxada obtendo deste xeito a súa proxección horizontal. Calculamos a proxección vertical axudándonos de rectas do plano (no exemplo, horizontais) que conteñan aos puntos A, B e C.
O vértice superior V do tetraedro está sobre unha recta perpendicular ao plano Q que contén á base, trazada polo centro O.
A súa posición sobre esta perpendicular queda determinada pola altura do tetraedro que, como sabemos, está en función da arista do corpo. Determinamos a altura h sobre a cara abatida como no exercicio da figura 1.
Para situar sobre a recta perpendicular ao plano Q, a partir do punto O, a magnitud da altura, tomamos un punto arbitrario M de esta recta e calculamos a verdadeira magnitude del segmento O-M mediante un xiro. Sobre o segmento o’-M1 (en verdadeira magnitude) e a partires de o’, levamos a altura h determinada e obtemos o punto V1. Desfacendo o xiro queda determinada a proxección vertical v’ buscada, do vértice superior.
SECCIONES PLANAS DO TETRAEDRO
Sección por un plano oblicuo
Dado o corpo polas súas proxecciones calcularemos a sección xerada polo plano secante P nel mediante un cambio de plano vertical. Mediante este cambio o plano secante queda convertido en proxectante vertical de modo que podemos apreciar a sección directamente nas novas proxecciones verticais da figura.
Verdadera magnitude da sección
Para maior brevedade abatimos, sobre o plano horizontal de proyección para o seu cálculo, a traza vertical P’1 do plano secante obtida tralo cambio e a partires dela o propio plano e o polígono da sección nel contido. Figura 5.
Sección por un plano oblicuo
Dado o corpo polas súas proxecciones calcularemos a sección xerada polo plano secante P nel mediante un cambio de plano vertical. Mediante este cambio o plano secante queda convertido en proxectante vertical de modo que podemos apreciar a sección directamente nas novas proxecciones verticais da figura.
Verdadera magnitude da sección
Para maior brevedade abatimos, sobre o plano horizontal de proyección para o seu cálculo, a traza vertical P’1 do plano secante obtida tralo cambio e a partires dela o propio plano e o polígono da sección nel contido. Figura 5.
HEXADRO (cubo)
O hexaedro ou cubo, non é máis que un prisma recto e regular, de bases e caras cadradas e idénticas.
HEXAEDRO CON UNHA DAS SÚAS CARAS APOIADA NO PLANO HORIZONTAL DE PROXECCIÓN.
O contorno aparente en proXección horizontal É un caadrado cuxo lado é igual á verdadeira magnitude das aristas. Debuxado o cubo en posición arbitraria en proxección horizontal, debuxamos a súa proxección vertical sabendo que a súa altura é igual á verdadeira magnitude das aristas. Figura 1.
O contorno aparente en proXección horizontal É un caadrado cuxo lado é igual á verdadeira magnitude das aristas. Debuxado o cubo en posición arbitraria en proxección horizontal, debuxamos a súa proxección vertical sabendo que a súa altura é igual á verdadeira magnitude das aristas. Figura 1.
HEXAEDRO CON UNHA DAS SÚAS ARISTAS CONTIDA EN UN DOS PLANOS DE PROXECCIÓN.
Dadas las proxeccións diédricas da arista A-B contida no plano horizontal de proxección debuxaremos as proyecciones diédricas do hexaedro. Para ilo debuxamos un plano P perpendicular á arista dada (proxectante horizontal) e que conteña a un dos seus extremos (A). O plano P debuxado conterá a unha das caras do hexaedro.
Abatemos o plano P no plano horizontal de proxección e debuxamos a cara mencionada tendo en conta que un dos seus vértices é o propio punto A e onde un dos seus lados forme un ángulo 𝝰 arbitrario de non indicarse o contrario, co plano horizontal de proxección.
Polos vértices A, E, C e G desta cara pasarán aristas perpendiculares a ela e por tanto ao plano P, desabatemos estes puntos e trazamos por eles as mencionadas aristas perpendiculares a P, que estarán delimitadas no outro extremo polos vértices B, D, H e F que quedan determinados pois sabemos que as magnitudes de todas estas aristas son idénticas e que todas elas móstranse en verdadeira magnitude por tratarse de rectas horizontais.
Debuxamos as proxeccións verticais dos vértices trazados e completamos o debuxo do hexaedro determinando as súas aristas vistas e ocultas. Figura 2.
Dadas las proxeccións diédricas da arista A-B contida no plano horizontal de proxección debuxaremos as proyecciones diédricas do hexaedro. Para ilo debuxamos un plano P perpendicular á arista dada (proxectante horizontal) e que conteña a un dos seus extremos (A). O plano P debuxado conterá a unha das caras do hexaedro.
Abatemos o plano P no plano horizontal de proxección e debuxamos a cara mencionada tendo en conta que un dos seus vértices é o propio punto A e onde un dos seus lados forme un ángulo 𝝰 arbitrario de non indicarse o contrario, co plano horizontal de proxección.
Polos vértices A, E, C e G desta cara pasarán aristas perpendiculares a ela e por tanto ao plano P, desabatemos estes puntos e trazamos por eles as mencionadas aristas perpendiculares a P, que estarán delimitadas no outro extremo polos vértices B, D, H e F que quedan determinados pois sabemos que as magnitudes de todas estas aristas son idénticas e que todas elas móstranse en verdadeira magnitude por tratarse de rectas horizontais.
Debuxamos as proxeccións verticais dos vértices trazados e completamos o debuxo do hexaedro determinando as súas aristas vistas e ocultas. Figura 2.
HEXAEDRO CON UNHA DAS SÚAS DIAGONAIS PERPENDICULAR A UN DOS PLANOS DE PROXECCIÓN.
Coñecida a arista dO cuerpo, debuxaremos previamente o hexaedro apoiado por unha das súas caras no plano horizontal de proxección (colocaremos unha das diagonais desta cara, de punta ou coa súa proxección horizontal perpendicular á líña de terra.)
Preténdese representar o hexaedro con unha das súas diagonais principais en posición vertical, para ilo tomaremos a diagonal C-E, xa representada, e a xiraremos o ángulo a necesario ata convertila en recta vertical, tomamos para o xiro un eje de punta que conteña ao extremo C de dita diagonal. Efectuamos, con este mismo eixe de xiro, o mesmo xiro (igual ángulo e sentido de xiro) para todos os vértices do hexaedro previamente representado, obtendo de este modo o corpo na posición requerida. Figura 3.
Coñecida a arista dO cuerpo, debuxaremos previamente o hexaedro apoiado por unha das súas caras no plano horizontal de proxección (colocaremos unha das diagonais desta cara, de punta ou coa súa proxección horizontal perpendicular á líña de terra.)
Preténdese representar o hexaedro con unha das súas diagonais principais en posición vertical, para ilo tomaremos a diagonal C-E, xa representada, e a xiraremos o ángulo a necesario ata convertila en recta vertical, tomamos para o xiro un eje de punta que conteña ao extremo C de dita diagonal. Efectuamos, con este mismo eixe de xiro, o mesmo xiro (igual ángulo e sentido de xiro) para todos os vértices do hexaedro previamente representado, obtendo de este modo o corpo na posición requerida. Figura 3.
Podemos observar nas proxeccións así obtidas, que o contorno das aristas en proxección horizontal representa un hexágono regular por cuxo centro pasa a “diagonal vertical” e que as caras del cubo presentan, en esta proxección, unha das súas diagonais en verdadeira magnitude por presentarse paralelas ao plano horizontal de proxección. As diagonais das caras do cubo, mencionadas, forman ademáis entre sí triángulos equiláteros inscritos na circunferencia circunscrita do hexágono antedito. Fórmanse dous triángulos equiláteros (non debuxados), un formado polas diagonais das caras que concorren en un dos extremos da diagonal vertical e outro entre as diagonales das caras do cubo que concorren no outro extremo de dita diagonal. Por outra parte, na proxección vertical, as alturas dos vértices do hexaedro correspóndense con algunha das tres divisiónes iguais, efectuadas á diagonal vertical do corpo.
Estas características son comúns para calquera hexaedro que teña unha das súas diagonais en posición “vertical” polo que poderemos debuxar todos os cubos así dispostos sen necesidade de realizar o xiro da figura 3. Na figura 4, partindo da magnitude da arista do cubo, este represéntase directamente con unha das súas diagonais en posición vertical.
Para ilo debuxamos en proyección horizontal, (con posición e orientación non definidas), un triángulo equilátero cuxo lado é igual á verdadeira magnitude da “diagonal das caras cuadradas do cubo” e en proxección vertical trazamos polo centro do triángulo equilátero antedito, unha “diagonal do cubo” que se divide en tres partes iguais para determinar as alturas dos vértices do corpo.
Calculando o hexágono regular inscrito na circunferencia circunscrita do triángulo e de vértices coincidentes cos vértices de este, obtemos a proyección horizontal do contorno aparente do cuerpo. Completamos esta proxección debuxando as aristas que concorren nos extremos da diagonal vertical.
Debuxamos a proyección vertical sen máis que adxudicar a cada vértice a súa correspondente altura das catro posibles definidas ao dividir en tres partes iguais a diagonal vertical.
Para ilo debuxamos en proyección horizontal, (con posición e orientación non definidas), un triángulo equilátero cuxo lado é igual á verdadeira magnitude da “diagonal das caras cuadradas do cubo” e en proxección vertical trazamos polo centro do triángulo equilátero antedito, unha “diagonal do cubo” que se divide en tres partes iguais para determinar as alturas dos vértices do corpo.
Calculando o hexágono regular inscrito na circunferencia circunscrita do triángulo e de vértices coincidentes cos vértices de este, obtemos a proyección horizontal do contorno aparente do cuerpo. Completamos esta proxección debuxando as aristas que concorren nos extremos da diagonal vertical.
Debuxamos a proyección vertical sen máis que adxudicar a cada vértice a súa correspondente altura das catro posibles definidas ao dividir en tres partes iguais a diagonal vertical.
Para determinar a magnitude da diagonal do cadrado das caras e a magnitude da diagonal do cubo, figura 5A.
Vemos que o valor da diagonal do cadrado é igual que o da hipotenusa dun triángulo rectángulo e isósceles, de lados iguais ás aristas do cubo, e que a diagonal do cubo é a hipotenusa dun triángulo rectángulo cuxo cateto menor é arista do cubo iendo o seu cateto maior igual á magnitude da diagonal das caras do cubo. Figura 5B.
Vemos que o valor da diagonal do cadrado é igual que o da hipotenusa dun triángulo rectángulo e isósceles, de lados iguais ás aristas do cubo, e que a diagonal do cubo é a hipotenusa dun triángulo rectángulo cuxo cateto menor é arista do cubo iendo o seu cateto maior igual á magnitude da diagonal das caras do cubo. Figura 5B.
DESENVOLVEMENTO
Resólvese coma no caso do prisma recto, en calquera caso teremos que debuxar seis caras cadradas co maor número posible de aristas comúns. O lado do cadrado é a arista do hexaedro, se compre, calcularíase súa verdadeira magnitude mediante un xiro. Figura 6.
Resólvese coma no caso do prisma recto, en calquera caso teremos que debuxar seis caras cadradas co maor número posible de aristas comúns. O lado do cadrado é a arista do hexaedro, se compre, calcularíase súa verdadeira magnitude mediante un xiro. Figura 6.
SECCIÓN PRODUCIDA POR UN PLANO HRIZONTAL
Dado o plano horizontal H, a sección producida por este no cubo apreciase directamente na proyección vertical por ser o plano proxectante en este plano de proyección. A verdadeira magnitude da sección é a propia proxección horizontal da sección, por ser H un plano paralelo o plano horizontal de proxección, non sufren deformación lineal nen angular as proxeccións horizontais dos elementos contidos nel. Figura 6.
Dado o plano horizontal H, a sección producida por este no cubo apreciase directamente na proyección vertical por ser o plano proxectante en este plano de proyección. A verdadeira magnitude da sección é a propia proxección horizontal da sección, por ser H un plano paralelo o plano horizontal de proxección, non sufren deformación lineal nen angular as proxeccións horizontais dos elementos contidos nel. Figura 6.
OCTAEDRO
Un octaedro é unha superficie prismática composta de oito caras iguais que son ademáis triángulos equiláteros. Todas as súas aristas teñen igual magnitude e as tres diagonais de este corpo córtanse entre sí nos seus puntos medios e perpendicularmente. Pódese entender coma dúas pirámides, con caras triángulos equiláteros, unidas polas súas bases cadradas.
OCTAEDRO CON UNHA DAS SÚAS DIAGONAiS PERPENDICULAR A UN DOS PLANOS DE PROXECCIÓN
Nesta posición, a proxección diédrica do corpo sobre o plano de proxección que resulta perpendicular á diagonal mencionada, representa o contorno aparente das súas aristas segundo un cadrado (no exemplo da figura 1 a diagonal é vertical, resultando por tanto o contorno aparente cadrado, vértices A, B, C e D, en proxección horizontal).
As aristas do octaedro, lados do cadrado, están en verdadeira magnitude por seren rectas horizontales (ou pertencer a un plano horizontal). Das tres diagonais do octaedro, dúas delas (A-C e B-D) tamén son horizontais e a terceira E-F vertical neste exemplo. As tres se presentan en verdadeira magnitude “D”, as dúas primeras en proxección horizontal e a última en proxección vertical.
Debuxada a proyección horizontal do corpo a partires da magnitude da arista, debuxamos a súa proxección vertical a partires da verdadeira magnitude da diagonal vertical sabendo que a altura dos vértices A, B, C e D é D/2. Figura 1.
Nesta posición, a proxección diédrica do corpo sobre o plano de proxección que resulta perpendicular á diagonal mencionada, representa o contorno aparente das súas aristas segundo un cadrado (no exemplo da figura 1 a diagonal é vertical, resultando por tanto o contorno aparente cadrado, vértices A, B, C e D, en proxección horizontal).
As aristas do octaedro, lados do cadrado, están en verdadeira magnitude por seren rectas horizontales (ou pertencer a un plano horizontal). Das tres diagonais do octaedro, dúas delas (A-C e B-D) tamén son horizontais e a terceira E-F vertical neste exemplo. As tres se presentan en verdadeira magnitude “D”, as dúas primeras en proxección horizontal e a última en proxección vertical.
Debuxada a proyección horizontal do corpo a partires da magnitude da arista, debuxamos a súa proxección vertical a partires da verdadeira magnitude da diagonal vertical sabendo que a altura dos vértices A, B, C e D é D/2. Figura 1.
OCTAEDRO CON UNHA DAS SÚAS CARAS APOiADA NO PLANO HORIZONTAL DE PROXECCIÓN
Un octaedro ten as súas caras triangulares paralelas dous a dous. No exercicio da figura 2, representaremos un octaedro con unha das súas oito caras contida no plano horizontal de proxección. Nesta posición e en proxección horizontal a cara A, B, C, contida no plano horizontal de proxección e a súa paralelaE, D, F mostran os seus lados (aristas do cuerpo) en verdadeira magnitude e teñen os seus centros coincidentes, ademáis unha está xirada respecto a outra 180º.
A proyección horizontal do cuerpo presenta o contorno aparente das súas aristas coma un hexágono regular de vértices coincidentes cos dos triángulos equiláteros mencionados. Debuxamos pois os dous triángulos equiláteros xirados, de lados iguais á magnitude da arista do corpo, e completamos a proxección horizontal unindo os seus vértices.
Para debuxar a proyección vertical do octaedro teremos en conta que a cota dos tres vértices situados no plano horizontal de proyección é lógicamente cero, sendo a dos outros tres a mesma. A altura H destes tres puntos é igual á magnitude do cateto maior dun triángulo rectángulo de cateto menor, a proxección horizontal de unha das aristas no plano horizontal (F-B) e de hipotenusa, a verdadeira magnitude da arista.
Un octaedro ten as súas caras triangulares paralelas dous a dous. No exercicio da figura 2, representaremos un octaedro con unha das súas oito caras contida no plano horizontal de proxección. Nesta posición e en proxección horizontal a cara A, B, C, contida no plano horizontal de proxección e a súa paralelaE, D, F mostran os seus lados (aristas do cuerpo) en verdadeira magnitude e teñen os seus centros coincidentes, ademáis unha está xirada respecto a outra 180º.
A proyección horizontal do cuerpo presenta o contorno aparente das súas aristas coma un hexágono regular de vértices coincidentes cos dos triángulos equiláteros mencionados. Debuxamos pois os dous triángulos equiláteros xirados, de lados iguais á magnitude da arista do corpo, e completamos a proxección horizontal unindo os seus vértices.
Para debuxar a proyección vertical do octaedro teremos en conta que a cota dos tres vértices situados no plano horizontal de proyección é lógicamente cero, sendo a dos outros tres a mesma. A altura H destes tres puntos é igual á magnitude do cateto maior dun triángulo rectángulo de cateto menor, a proxección horizontal de unha das aristas no plano horizontal (F-B) e de hipotenusa, a verdadeira magnitude da arista.
DESENVOLVEMENTO
Resólvese coma se fosen dúas pirámides cuadradas. Temos que debuxar oito triángulos equiláteros co maior número de aristas comúns. A verdadeira magnitude da arista, lado del triángulo apréciase en proxección horizontal en calquera das do contorno da peza.