Introdución
Así coma un punto ao desplazarse xera unha líña, unha recta ao desplazarse xera unha superficie, esta recta denominase xeratriz. Entendemos como superficie aos infinitos puntos de contacto que un corpo ou volume ten co espazo. As superficies non teñen volume propio, son simplemente un límite.
Segundo sexan as superficies, denomínanse:
Superficies Xeométricas, cando responden a unha ley xeométrica determinada.
Superficies Regladas, cando a xeratriz é recta e non curva.
As superficies poden ser, a súa vez
Superficie Desenvolvible, cando pode desplegarse e adosarse a un plano sen sufrir rotura nin deformación lineal.
Superficie Alabeada, cando non puede desplegarse nin adosarse a un plano sen sufrir rotura nin deformación lineal.
Segundo sexan as superficies, denomínanse:
Superficies Xeométricas, cando responden a unha ley xeométrica determinada.
Superficies Regladas, cando a xeratriz é recta e non curva.
As superficies poden ser, a súa vez
Superficie Desenvolvible, cando pode desplegarse e adosarse a un plano sen sufrir rotura nin deformación lineal.
Superficie Alabeada, cando non puede desplegarse nin adosarse a un plano sen sufrir rotura nin deformación lineal.
Clasificación
Superficies regladas
Entre as superficies regladas pódense distinguir as Superficies radiadas.
Son superficies xeométricas e desenvolvibles. A ley xeométrica que define a unha superficie radiada é a siguiente:
A xeratriz dende un punto fixo propio ou impropio, recorre a directriz. No primeiro caso as xeratrices concorren no vértice da superficie (cono, pirámide) e no segundo a superficie non ten vértice pois as xeratrices son paralelas entre sí (prisma, cilindro). A directriz pode ser calquera polígono cerrado regular ou irregular ou calquera curva pechada. (Triángulo, cadrado, pentágono, círculo, elipse, etc.)
Dentro das superficies radiadas podemos distinguir:
Superficies poliédricas piramidales
Poliedro significa varias caras. Estas superficies teñen de base ou directriz un polígono, as xeratrices concorren no vértice, que é punto propio. O corpo que esta superficie envolve é a PIRÁMIDE. Fig.1
Superficies poliédricas prismáticas
A directriz é tamén un polígono pero as xeratrices concorren nun punto impropio o do infinito, polo que son paralelas entre sí. O corpo envolto por esta superficie é o PRISMA. Fig. 2.
Superficies cónicas
A directriz é unha curva e as xeratrices concorren nun punto propio. Nas superficies cónicas de revolución a curva directriz é unha circunferencia e por tanto, as xeneratrices manteñen un ángulo constante co eixe. O corpo envolto por esta superficie é o CONO. Fig.3.
Superficies cilíndricas
A directriz é tamén unha curva, as xeratrices son paralelas entre sí e ao eixe por concorrir nun punto impropio o do infinito. A igual que nas superficies cónicas pódese distinguir entre as superficies cilíndricas de revolución e as que non o son, nas primeiras manteñen as súas xeratrices a unha distancia constante do eixe e nas segundas non. O corpo envolto por esta superficie é o CILINDRO. Fig.4.
Entre as superficies regladas pódense distinguir as Superficies radiadas.
Son superficies xeométricas e desenvolvibles. A ley xeométrica que define a unha superficie radiada é a siguiente:
A xeratriz dende un punto fixo propio ou impropio, recorre a directriz. No primeiro caso as xeratrices concorren no vértice da superficie (cono, pirámide) e no segundo a superficie non ten vértice pois as xeratrices son paralelas entre sí (prisma, cilindro). A directriz pode ser calquera polígono cerrado regular ou irregular ou calquera curva pechada. (Triángulo, cadrado, pentágono, círculo, elipse, etc.)
Dentro das superficies radiadas podemos distinguir:
Superficies poliédricas piramidales
Poliedro significa varias caras. Estas superficies teñen de base ou directriz un polígono, as xeratrices concorren no vértice, que é punto propio. O corpo que esta superficie envolve é a PIRÁMIDE. Fig.1
Superficies poliédricas prismáticas
A directriz é tamén un polígono pero as xeratrices concorren nun punto impropio o do infinito, polo que son paralelas entre sí. O corpo envolto por esta superficie é o PRISMA. Fig. 2.
Superficies cónicas
A directriz é unha curva e as xeratrices concorren nun punto propio. Nas superficies cónicas de revolución a curva directriz é unha circunferencia e por tanto, as xeneratrices manteñen un ángulo constante co eixe. O corpo envolto por esta superficie é o CONO. Fig.3.
Superficies cilíndricas
A directriz é tamén unha curva, as xeratrices son paralelas entre sí e ao eixe por concorrir nun punto impropio o do infinito. A igual que nas superficies cónicas pódese distinguir entre as superficies cilíndricas de revolución e as que non o son, nas primeiras manteñen as súas xeratrices a unha distancia constante do eixe e nas segundas non. O corpo envolto por esta superficie é o CILINDRO. Fig.4.
Superficies poliédricas
Denomínanse así ás superficies que están formadas por múltiples caras planas (por exemplo as superficies radiadas prismáticas e piramidales estudiadas). Si estas caras son todas iguales se denominan superficies poliédricas regulares e o corpo o que envuelven, POLIEDRO REGULAR
Poliedros regulares (sólidos platónicos)
Son cinco os poliedros regulares existentes, a saber:
TETRAEDRO: Teñen catro caras, estas son triángulos equiláteros.
HEXAEDRO: Teñen seis caras, que son cadrados.
OCTAEDRO: Teñen oito caras, son triángulos equiláteros.
DODECAEDRO: Formado por doce caras pentagonales.
ICOSAEDRO: Formado por vinte caras que son triángulos equiláteros.
Poliedros regulares (sólidos platónicos)
Son cinco os poliedros regulares existentes, a saber:
TETRAEDRO: Teñen catro caras, estas son triángulos equiláteros.
HEXAEDRO: Teñen seis caras, que son cadrados.
OCTAEDRO: Teñen oito caras, son triángulos equiláteros.
DODECAEDRO: Formado por doce caras pentagonales.
ICOSAEDRO: Formado por vinte caras que son triángulos equiláteros.
Superficies non regladas
Cando a xeratriz é unha líña curva. As superficies non regladas máis importantes son as de revolución xeradas por unha curva que xira ao rededor dunha recta fixa denominada eixe e contida no seu plano.
Destacan neste grupo:
A esfera. A súa xeratriz é unha circunferencia xirando sobre un dos seus diámetros.
O toro. A súa xeratriz é unha circunferencia xirando sobre un eixe que non contén ao seu centro.
A escocia. Enxendrada por dous ou máis arcos de circunferencia tanxentes entre sí.
Destacan neste grupo:
A esfera. A súa xeratriz é unha circunferencia xirando sobre un dos seus diámetros.
O toro. A súa xeratriz é unha circunferencia xirando sobre un eixe que non contén ao seu centro.
A escocia. Enxendrada por dous ou máis arcos de circunferencia tanxentes entre sí.
Prisma
O corpo cuia superficie está constituida lateralmente por unha superficie prismática limitada nos seus dous sentidos por dous planos secantes paralelos entre sí, denomínase prisma.
Elementos
Aristas laterais: pertencen á superficie prismática lateral.
Aristas básicas: producidas sobre a superficie lateral por os planos secantes.
Caras laterais: caras contenidas na superficie lateral, son sempre cuadriláteros paralelogramos ou trapecios según se trate dun prisma de bases paralelas ou truncado respectivamente.
Bases: caras contidas nos planos secantes, sendo polígonos de tantos lados como caras laterais teña o Poliedro.
Altura: distancia á que se atopan as suás bases paralelas.
Sección plana é o polígono que produce ao ser cortado o prisma por un plano.
Sección recta: polígono producido cando o plano secante é perpendicular ás aristas laterais.
Elementos
Aristas laterais: pertencen á superficie prismática lateral.
Aristas básicas: producidas sobre a superficie lateral por os planos secantes.
Caras laterais: caras contenidas na superficie lateral, son sempre cuadriláteros paralelogramos ou trapecios según se trate dun prisma de bases paralelas ou truncado respectivamente.
Bases: caras contidas nos planos secantes, sendo polígonos de tantos lados como caras laterais teña o Poliedro.
Altura: distancia á que se atopan as suás bases paralelas.
Sección plana é o polígono que produce ao ser cortado o prisma por un plano.
Sección recta: polígono producido cando o plano secante é perpendicular ás aristas laterais.
Casos particulares
Prisma truncado: Cando estos dous planos secantes non son paralelos entre sí. Prisma recto: Cando as aristas laterais son perpendiculares ás bases. Prisma oblicuo: Cando as aristas laterais non son normali ás bases. Prisma regular: Cando o prisma, ademáis de recto, ten por bases polígonos regulares. Paralelepípedo: A súas bases son cuadriláteros paralelogramos. Paralelepípedo rectángulo: Cando o paralepípedo é recto. |
Pirámide
A pirámide pode ser considerada como un prisma, onde o punto de concurso das súas aristas é propio. De aquí que este corpo é o formado lateralmente por unha superficie piramidal limitada nun sentido polo punto de intersección das súas aristas, chamado vértice principal e no outro sentido por un plano secante.
Elementos
Aristas laterales: pertenecen á superficie prismática lateral.
Aristas básicas: producidas sobre a superficie lateral polo plano secante.
Caras laterales: caras contenidas na superficie lateral, son sempre triángulos, con vértice común no vértice principal.
Base: cara contenida no plano secante é un polígono de tantos lados como caras laterais teña o poliedro.
Altura: distancia á que se atopa o seu vértice principal do plano da súa base.
Sección plana é o polígono que se produce ao ser cortada a pirámide por un plano.
Elementos
Aristas laterales: pertenecen á superficie prismática lateral.
Aristas básicas: producidas sobre a superficie lateral polo plano secante.
Caras laterales: caras contenidas na superficie lateral, son sempre triángulos, con vértice común no vértice principal.
Base: cara contenida no plano secante é un polígono de tantos lados como caras laterais teña o poliedro.
Altura: distancia á que se atopa o seu vértice principal do plano da súa base.
Sección plana é o polígono que se produce ao ser cortada a pirámide por un plano.
Casos particulares
Pirámide regular e recta: Sendo o polígono da base regular, a altura coincide no centro do polígono da base.
Pirámide oblicua: Cando a altura non coincide no centro do polígono da base.
Truncada: Cando aparce a porción deixada por un plano secante paralelo ou non co polígono da base.
Pirámide regular e recta: Sendo o polígono da base regular, a altura coincide no centro do polígono da base.
Pirámide oblicua: Cando a altura non coincide no centro do polígono da base.
Truncada: Cando aparce a porción deixada por un plano secante paralelo ou non co polígono da base.
Cilindro
O cilindro pode ser considerado como un prisma de infinito número de caras. Resulta de cortar unha superficie cilíndrica por dous planos secantes paralelos.
Elementos
Xeratriz: toda recta contenida na superficie e paralela ao eixe do corpo. É equivalente á arista lateral no prisma.
Bases: curvas perchadas e planas que se producen nos planos secantes.
Altura: é a distancia á que se atopana as súas bases paralelas.
Sección plana é a curva pechada e plana producida ao ser cortado o cilindro por un plano secante.
Sección recta: cando el plano secante antedito é perpendicular ao eixe do cilindro, resulta circular cando se trata dun cilindro de revolución.
Elementos
Xeratriz: toda recta contenida na superficie e paralela ao eixe do corpo. É equivalente á arista lateral no prisma.
Bases: curvas perchadas e planas que se producen nos planos secantes.
Altura: é a distancia á que se atopana as súas bases paralelas.
Sección plana é a curva pechada e plana producida ao ser cortado o cilindro por un plano secante.
Sección recta: cando el plano secante antedito é perpendicular ao eixe do cilindro, resulta circular cando se trata dun cilindro de revolución.
Casos particulares
Cilindro truncado: Cando os planos secantes non son paralelos
Cilindro de revolución: Cando as xeratrices equidistan do eixe. As bases son circulares ou elípticas segundo sexa recto ou oblicuo respectivamente.
Cilindro recto: Cando as bases son perpendiculares ao eixe ou as xeratrices.
Cilindro oblicuo: Cando as bases non son perpendiculares ao eixe ou as xeratrices.
Cilindro truncado: Cando os planos secantes non son paralelos
Cilindro de revolución: Cando as xeratrices equidistan do eixe. As bases son circulares ou elípticas segundo sexa recto ou oblicuo respectivamente.
Cilindro recto: Cando as bases son perpendiculares ao eixe ou as xeratrices.
Cilindro oblicuo: Cando as bases non son perpendiculares ao eixe ou as xeratrices.
Cono
Elementos
Vértice: punto de concurso de todas as súas xeratrices.
Xeratriz: toda recta contida na superficie.
Altura: distancia do vértice ao plano da base.
Base: curva cerrada e plana que se produce no plano secante.
Sección plana: curva producida ao ser cortado o cono por un plano secante. Caando o plano secante é oblicuo ao eixe obtense se o cilindro é de revolución una curva cónica, elipse, parábola ou hipérbola segundo sexa o ángulo entre o plano secante e o eixe do cono maior que o que forman as xeratrices co eixe, igual ou menor respectivamente.
Sección recta: sección xerada no cono cando o plano secante mencionado é perpendicular ao eixe. Será un círculo cando o cono sexa de revolución.
Vértice: punto de concurso de todas as súas xeratrices.
Xeratriz: toda recta contida na superficie.
Altura: distancia do vértice ao plano da base.
Base: curva cerrada e plana que se produce no plano secante.
Sección plana: curva producida ao ser cortado o cono por un plano secante. Caando o plano secante é oblicuo ao eixe obtense se o cilindro é de revolución una curva cónica, elipse, parábola ou hipérbola segundo sexa o ángulo entre o plano secante e o eixe do cono maior que o que forman as xeratrices co eixe, igual ou menor respectivamente.
Sección recta: sección xerada no cono cando o plano secante mencionado é perpendicular ao eixe. Será un círculo cando o cono sexa de revolución.
Casos particulares
Cono de revolución: Cando o ángulo das xeratrices e o eixe é constante.
Cono recto: Cando a altura é normal (perpendicular) ao plano da base.
Cono oblicuo: Cando a altura non é normal ao plano da base.
Cono de revolución: Cando o ángulo das xeratrices e o eixe é constante.
Cono recto: Cando a altura é normal (perpendicular) ao plano da base.
Cono oblicuo: Cando a altura non é normal ao plano da base.
Seccións, Desenvolvemento e Transformada
Sección plana
Concepto
Denomínase así ao polígono ou curva formado pola intersección dun plano, denominado plano secante, e unha superficie. Se a superficie é poliédrica, os vértices de dito polígono correspóndense coas interseccións entre dito plano e as aristas do poliedro e os lados son as rectas intersección do plano secante coas caras do poliedro, obtéñense ao unir os vértices ordenadamente.
Planos secantes
Os planos secantes solen ser: Oblicuos, proxectantes horizontais ou verticais, frontais, horizontais ou de perfil.
Métodos para el cálculo de secciones
Para calcular as intersecciones entre as caras ou aristas dun poliedro (ou as xeratrices dunha superficie de revolución) e un plano secante podemos emplear varios métodos.:
Planos auxiliares
Tomando planos auxiliares que conteñan as caras, aristas uo generatrices da superficie, calculamos a recta intersección destes co plano secante, onde esta recta corte ás aristas ou xeratrices tomadas tendremos puntos da sección buscada.
Xeralmente tomaranse como auxiliares planos de fácil trazado e que xeneren unha intersección fácil co plano secante, os máis usuais son:
Planos proxectantes verticais ou horizontais: para aristas o xeratrices oblicuas aos planos de proxección.
Planos horizontales ou frontais: para caras, aristas ou xeratrices paralelas aos planos de proxección.
Cambios de plano.
En ocasions resulta aconsellable convertir un plano secante oblicuo en proxectante onde a sección é directa, mediante un cambio de plano.
Homoloxía e afinidade
Pódese simplificar o trazado de seccións mediante homoloxía ou afinidade entre a base da superficie e a sección cando traballemos con superficies radiadas. Para iso calculamos algún punto da sección mediante os métodos descritos e tomamos como eixe de homoloxía a intersección entre o plano secante e o plano que contén á base da superficie.
Verdaderia magnitude dea sección
As proxeccións da sección obtidas poden ou non estar en verdadeira magnitude lineal e angular. A verdadeira magnitude da sección obtense por abatemento do plano secante sobre un dos de proxección salvo que o plano secante sexa horizontal ou frontal, en cuio caso apréciase a sección, en unha das súas proxeccións, en verdadeira magnitude.
Os métodos empregados no cálculo de verdaderas magnitudes son os que se emplean en abatimentos, podendo simplificarse este proceso mediante afinidade entre as proyecciones da sección e a propia sección abatida sobre un dos planos de proxección, sendo o eixe de afinidade a charnela de abatemento, a dirección de afinidade perpendicular a esta e coñeciendo un punto xa abatido.
Desenvolvemento
Como vimos, superficie desenvolvible é aquela que se pode adosar a un plano sen sufrir deformación lineal nen rotura. No caso dun poliedro, o resultado é unha figura plana formada o situar sobre un plano cada unha das súas caras ordenadas de tal modo que teñan o maior número de aristas comúns. A esfera e o toro non son desenvolvibles.
Transformada
Transformada da sección non é senón a representación sobre o desenvolvemento da superficie das intersecciones xeradas entre ésta (caras, aristas, generatrices) e o plano secante.
Desenvolvemto e transformada represéntanse sempre cos seus elementos en verdadeira magnitude.
Denomínase así ao polígono ou curva formado pola intersección dun plano, denominado plano secante, e unha superficie. Se a superficie é poliédrica, os vértices de dito polígono correspóndense coas interseccións entre dito plano e as aristas do poliedro e os lados son as rectas intersección do plano secante coas caras do poliedro, obtéñense ao unir os vértices ordenadamente.
Planos secantes
Os planos secantes solen ser: Oblicuos, proxectantes horizontais ou verticais, frontais, horizontais ou de perfil.
Métodos para el cálculo de secciones
Para calcular as intersecciones entre as caras ou aristas dun poliedro (ou as xeratrices dunha superficie de revolución) e un plano secante podemos emplear varios métodos.:
Planos auxiliares
Tomando planos auxiliares que conteñan as caras, aristas uo generatrices da superficie, calculamos a recta intersección destes co plano secante, onde esta recta corte ás aristas ou xeratrices tomadas tendremos puntos da sección buscada.
Xeralmente tomaranse como auxiliares planos de fácil trazado e que xeneren unha intersección fácil co plano secante, os máis usuais son:
Planos proxectantes verticais ou horizontais: para aristas o xeratrices oblicuas aos planos de proxección.
Planos horizontales ou frontais: para caras, aristas ou xeratrices paralelas aos planos de proxección.
Cambios de plano.
En ocasions resulta aconsellable convertir un plano secante oblicuo en proxectante onde a sección é directa, mediante un cambio de plano.
Homoloxía e afinidade
Pódese simplificar o trazado de seccións mediante homoloxía ou afinidade entre a base da superficie e a sección cando traballemos con superficies radiadas. Para iso calculamos algún punto da sección mediante os métodos descritos e tomamos como eixe de homoloxía a intersección entre o plano secante e o plano que contén á base da superficie.
Verdaderia magnitude dea sección
As proxeccións da sección obtidas poden ou non estar en verdadeira magnitude lineal e angular. A verdadeira magnitude da sección obtense por abatemento do plano secante sobre un dos de proxección salvo que o plano secante sexa horizontal ou frontal, en cuio caso apréciase a sección, en unha das súas proxeccións, en verdadeira magnitude.
Os métodos empregados no cálculo de verdaderas magnitudes son os que se emplean en abatimentos, podendo simplificarse este proceso mediante afinidade entre as proyecciones da sección e a propia sección abatida sobre un dos planos de proxección, sendo o eixe de afinidade a charnela de abatemento, a dirección de afinidade perpendicular a esta e coñeciendo un punto xa abatido.
Desenvolvemento
Como vimos, superficie desenvolvible é aquela que se pode adosar a un plano sen sufrir deformación lineal nen rotura. No caso dun poliedro, o resultado é unha figura plana formada o situar sobre un plano cada unha das súas caras ordenadas de tal modo que teñan o maior número de aristas comúns. A esfera e o toro non son desenvolvibles.
Transformada
Transformada da sección non é senón a representación sobre o desenvolvemento da superficie das intersecciones xeradas entre ésta (caras, aristas, generatrices) e o plano secante.
Desenvolvemto e transformada represéntanse sempre cos seus elementos en verdadeira magnitude.